![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
s = [s1 s2... sm]T, х = [a, а2... an]T, v = [v1 v2 … vm]T.
Из входных данных образуем прямоугольную матрицу H размерности
(т x n)
Тогда (1.10) можно записать в векторно-матричной форме:
(1.11)
Если т > n, то система (1.11), представляющая собой модель измерителя, является переопределенной. Тогда можно найти такие значения элементов вектора x = , при которых разность
(1.12)
точнее — скалярное произведение будет принимать минимальное значение. Задачу минимизации скалярного произведения сформулируем следующим образом: определим вектор
, при котором минимизируется критерий качества
(1.13)
Постоянное число 1/2, содержащееся в(1.13) на вектор x* не влияет. Оно введено для удобства вычислений.
Если H в критерии качества (1.13) имеет минимальный ранг, равный n, то минимум J (х) можно найти путем дифференцирования J пo x и приравнивания производной к нулю. Это необходимое условие оптимальности. Достаточным условием минимума функции одной переменной следует считать положительное значение второй производной в экстремальной точке, а для функции нескольких переменных должно выполняться условие Лежандра-Клебша.
Рассмотрим произведение двух вектор-функций:
где 'Т" – знак транспонирования.
Согласно правилам векторного дифференцирования, можно записать
Используя это выражение, приравняем и
Тогда необходимое условие оптимальности можно представить следующим образом:
(1.14)
или
Информационная матрица имеет размерность (n x n) и является неособенной, поскольку H имеет максимальный ранг. Тогда, умножая левую и правую части (1.14) слева на инверсную матрицу
, получим наилучшую оценку вектора x
(1.15)
Получив наилучшую оценку вектора , подставим это значение в уравнение (1.11) и определим вектор у м как результат моделирования
(1.16)
Качество моделирования можно оценить по вектору разности между исходными данными s и моделью s м
z = s – s м
Уравнение (1.15) гарантирует получение минимума суммы квадратов элементов вектора z, т.е.
(1.17)
Для оценки эффективности моделирования можно воспользоваться эвклидовой нормой. B среде MatLAB существует функция "norm(z,'fro')", предназначенная для ее определения. Напомним, что эвклидова норма вектора z представляет собой равенство evc = = . Следовательно, критерий качества (1.17) можно записать
Другой подход к получению (1.15) может состоять в следующем. Рассмотрим вновь переопределенную систему, представленную уравнением (1.11). Предположим, что v имеет нормальное распределение, а вектор s состоит из постоянных значений. Тогда H d x = d v и, следовательно, d v T = d x T = Н T.
Для переопределенной системы уравнений справедливо условие т > n. Умножим d v T справа на вектор v и подставим его значение из уравнения (1.11)
(1.18)
Если теперь ввести критерий оценки вектора x, при котором требуется минимизировать
при отсутствии ограничений, то можно получить
(1.19)
Запишем (1.19) в векторно-матричной форме
(1.20)
Поскольку (1.20) совпадает с (1.18), то равенство указанного скалярного произведения векторов нулю возможно только в том случае, если . Данное условие может быть выполнено, если оценка х, которую ранее мы обозначили как
,будет
Мы получили уравнение, точно совпадающее с (1.16). Сумма квадратов погрешностей — скалярное произведение
Теперь умножим левую и правую части (1.11) слева на матрицу размерности (n Ч m). Заметим, что
и поэтому
где - вектор погрешности, представляющий разность между оценочным
истинным значениями вектора параметров.
Предполагая, что H и v независимы, мы получим среднее значение, равное нулю
(1.21)
Уравнение (1.21) подтверждает несмещенность оценки.
Уравнение (1.15) может быть использовано для оценки коэффициентов нелинейных функций, которые путем замены переменных приводятся к выражениям, линейным относительно неизвестных параметров. Сведем некоторые из них в таблицу 1.1, которая может быть полезна при выполнении практических преобразований.
Заметим, что использование функций, расположенных во втором столбце таблицы, для оценки параметров исходных зависимостей позволяет
Таблица 1.1.
№ | Исходная нелинейная функция | К какому виду приводится | Замена переменных |
1. | y =Aekx | Z = a0 + a1x | Z = ln y |
2. | y =Bxb | Z = a0 + a1u | Z = ln y, u = ln x, a0 = lnB, a1 = b |
3. | ![]() | Z = a0 + a1u | u = 1 /x |
4. | ![]() | Z = a0 + a1u | u = 1 /xb |
5. | ![]() | Z = a0 + a1x + а2х2 | Z = ln y,
![]() ![]() ![]() |
получить минимум суммы квадратов для преобразованных функций. Для исходных уравнений, являющихся нелинейными, применение нелинейных методов оценивания позволяет получить меньшее (в сравнении с MНK) значение эвклидовой нормы. Оценка же параметров функции Z позволяет лишь приблизиться к наилучшей оценке y.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 281 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!