Нахождение обратной матрицы методом замещения

Вычисление обратной матрицы, используя предыдущий метод, для матриц высокого порядка затруднительно, поэтому на практике удобно находить обратную матрицу с помощью метода замещения, при этом начальную проверку матрицы А на вырожденностьможно осуществить в процессе нахождения обратной матрицы этим методом.

Сначала составляется таблица (расширенная матрица) с удвоенным количеством столбцов, состоящая из элементов матриц А и единичной матрицы Е. Слева записывается данная по условию матрица, а справа – единичная. Последовательно заменяются единичные векторы базиса вектор – столбцами матрицы А. В результате на месте исходной матрицы должна получиться единичная матрица, а справа – обратная матрица.

На каждом шаге решения выбирается направляющий элемент а_rs ¹0 (любой элемент матрицы А, отличный от нуля), r – я строка называется направляющей строкой, а s– й столбец - направляющим столбцом. Элементы направляющей строки делятся на направляющий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

,

где – определяемый элемент;

– заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

– элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом ;

– элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

а_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

После получения новой таблицы выбирается новый, отличный от нуля, направляющий элемент в другой строке, вычисляется новая таблица и т.д., пока в результате замещения исходная матрица А не будет приведена к единичной матрице Е, а на месте единичной матрицы появится обратная А ^-1.

Если в результате вычислений обратной матрицы окажется, что процесс замещения продолжить нельзя (все направляющие элементы равны нулю), то матрица является вырожденной и обратной матрицы А ^-1 для данной матрицы А не существует.

Пример. Дана матрица . Требуется найти для нее обратную А ^-1.