Задача № 8

В центре скамейки Жуковского стоит человек и держит в руках однородный металлический стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка вращается, делая 1 оборот в секунду. Момент инерции человека и скамейки 6 кгм². Длина стержня 1,5 м, а его масса 8 кг. Определить число оборотов в секунду скамейки, если человек повернет стержень в горизонтальное положение так, что ось вращения пройдет через его середину. Какую работу совершит при этом человек?

N₁ = 1об/с Решение

I₁= 6кг м²

L = 1,5м

m = 8кг

n₂=?A =?

1. Применим закон сохранения момента импульса, пренебрегая действующими силами сопротивления.

I₁w₁ = I₂w₂ w₁= 2pn₁, I₂= I₁ + mL²/12, w₂= 2pn₂

2. Момент инерции в начальный момент времени равен только моменту инерции скамьи с человеком, а после поворота стержня он увеличится на момент инерции стержня, что и приведет к уменьшению угловой скорости вращения.

3. Угловую скорость вращения находим из формулы связи ее с числом оборотов в единицу времени (частотой).

4. Подставляя все полученные значения в выражение закона сохранения момента импульса, находим искомую величину частоты вращения.

N₂= I₁ n₁/ (I₁ + mL² / 12) n₂=0,8

5. Работа, совершаемая человеком при повороте стержня, идет на изменение кинетической энергии системы.

A = -DW_к; DW = I₂w₂²/ 2 – I₁w₂²/2;

A = - (I₁ + mL²/12)4 p²n₂²/2 - I₁4 p² n₁²/ 2 = 2p² [ (mL²/12 – I₁) + I₁ n₁² ];

A = 24 Дж.

Ответ: A = 24 Дж.