Пример. Вычислить определенные интегралы Решение

Вычислить определенные интегралы
Решение.
На отрезке подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема. Найдем

множество первообразных функции :

Возьмем первообразную и по формуле Ньютона-Лейбница получим

На отрезке [-1; 1] подынтегральная функция не ограничена, так как , то есть, не

выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1; 1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1; 1].

В этом моменте надо быть очень внимательным, и перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, действительно ли функция y = F(x) является первообразной функции y = f(x) на отрезке интегрирования.