Формула Ньютона-Лейбница ( с доказательством)

Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство .
Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.
Для доказательства нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела.
Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .
Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение

производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .
Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y = F(x) подынтегральной функции y = f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров для разъяснения.
Пример. Вычислить значение определенного интеграла .
Решение. для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1; 3], следовательно, интегрируема на нем. (О классах интегрируемых функций мы говорили в разделе понятиеопределенного интеграла). Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0: . Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .
Пример.

Вычислить определенный интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1; 2], поэтому, интегрируема на нем. Найдем неопределенный интеграл методом подведения под знак дифференциала: . Так мы получили множество всех первообразных функции для всех действительных x, следовательно, и для . Возьмем первообразную при С = 0 и применим формулу Ньютона-Лейбница: