Достаточные признаки экстремума функции

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

• если при и при , то - точка максимума;

• если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Алгоритм.

• Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2.
Находим производную:

Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5, знаменатель обращается в ноль при x = 2. Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6.

, следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.

Ответ: .

Второй достаточный признак экстремума функции.
Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

Производная обращается в ноль при x = 1, то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1:

Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x = 1 - точка максимума. Тогда - максимум функции.
Графическая иллюстрация.

Ответ: .
Третий достаточный признак экстремума функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Тогда,

• если n – четное, то - точка перегиба;

• если n – нечетное, то - точка экстремума.

Причем,

• если , то - точка минимума;

• если , то - точка максимума.

• Пример.
  Найти точки экстремума функции .
  Решение.
  Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.
  Продифференцируем функцию:
  
  
  Производная обращается в ноль при , следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным признаком экстремума.
  Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):
  
  Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n = 1 и ).
  Для выяснения характера точек находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:
  
  
  Следовательно, - точка перегиба функции (n = 2 и ).
  Осталось разобраться с точкой . Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:
  
  
  
  Следовательно, - точка минимума функции.
  
  Графическая иллюстрация.
  
  
  Ответ: - точка максимума, - точка минимума функции.