Исследование функции при помощи производной (общая схема)

1.

a. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

b. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.

3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.

5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. .
1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: x = 0, у= 0.

Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

1. . Критические точки: x₁ = 1; x₂ = –1.

1. 
2. а) Вертикальных асимптот нет

б) . Асимптота – y = 0.

· .

1. D(y)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: .

1. 
2. .
3. а) Вертикальных асимптот нет

б) .

Наклонных асимптот нет.

· .

1. D(y)= (0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

Пересечение с осью :

1. 
2. 
3. а) .

Вертикальная асимптота x = 0.

б) .

Наклонная асимптота y = 0.