Задание 39. Исследование сходимости числовых положительных рядов – 3 ч

Цель: формирование умения применять достаточные признаки (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши) при исследовании рядов на сходимость.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 39.1.Выучите определение положительного (знакоположительного) ряда. Сформулируйте признак сравнения. Выясните, какова техника его применения для исследования сходимости положительных рядов. Запомните ряды, традиционно использующиеся в качестве «эталонных» для исследования сходимости ряда по признаку сравнения.

?39.2. С помощью признака сравнения исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

& 39.3.Сформулируйте признак Даламбера. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Даламбера. Изучите пример исследования сходимости ряда по этому признаку.

?39.4. С помощью признака Даламбера исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ; в) ; г) .

& 39.5.Сформулируйте признак Коши (радикальный). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Коши. Изучите пример исследования сходимости ряда по этому признаку.

?39.6. С помощью признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ; в) ;¶ г) .

& 39.7. Выясните, в чём заключается интегральный признак Коши, и как он применяется для исследования сходимости положительных рядов.

?39.8. С помощью интегрального признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) .

& 39.9. Проанализируйте, в каких случаях исследовать положительный ряд на сходимость целесообразно с помощью признака сравнения, в каких – с помощью признака Даламбера, а в каких – с помощью признаков Коши.

¶39.10. Исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ;в) ; г) ; д) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным).

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

Ø из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

Ø из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Другими словами,

Ø если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;

Ø если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

1. - расходящийся гармонический ряд;

2. , если – расходящийся обобщённый гармонический ряд, , если - сходящийся обобщённый гармонический ряд;

3. , если - расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если - сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 1. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение. Сравним данный ряд с «эталонным» рядом геометрической прогрессии , который сходится ( <1). Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 2. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение. Рассмотрим ряд . Поскольку он получается из расходящегося гармонического ряда умножением на 2, то, по свойству числовых рядов (свойство 2), он расходится. Сравним исследуемый ряд с рядом . Имеем: , т.е. . Таким образом, общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

В отличие от признака сравнения, где многое зависит от догадки и запаса «эталонных» рядов, признак Даламбера часто позволяет исследовать сходимость ряда, проделав лишь некоторые операции над ним.

Признак Даламбера: Пусть дан положительный числовой ряд , и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если = 1, то признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти ;

4) найти предел отношения на бесконечности и проанализировать полученное значение:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если =1, то признак Даламбера ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Рассмотрим пример использования признака Даламбера для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 3. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Даламбера.

Решение. Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера воспользуемся алгоритмом:

1) найдём : ;

2) найдём : ;

3) найдём : ;

4)найдём : (при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). Получили, что =7> 1. Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: расходится.

Заметим, что признак Даламбера целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или .

Иногда для исследования сходимости положительного ряда удобно использовать радикальный признак Коши, во многом схожий с признаком Даламбера.

Признак Коши (радикальный): Пусть дан положительный числовой ряд ,и существует конечный или бесконечный предел = . Тогда:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если = 1, признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти и проанализировать полученное значение:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если =1, то признак Коши ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Пример 4. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Коши.

Решение. Для исследования сходимости ряда по признаку Коши воспользуемся алгоритмом:

1) найдём : ;

2) найдём : ;

3) найдём : . Получили, что . Значит, по признаку Коши ряд сходится.

Ответ: сходится.

Заметим, что признак Коши целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда представляет собой n-ую степень выражения.

В некоторых ситуациях, когда ни один из признаков сравнения, Даламбера, Коши не дает ответ о сходимости положительного ряда, исследовать ряд на сходимость позволяет интегральный признак Коши.

Интегральный признак Коши: Если члены положительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Пример 5. Исследуйте ряд на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

Решение. Рассмотрим функцию , . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на , и , следовательно, можно применить интегральный признак Коши. Выясним, будет ли несобственный интеграл сходиться или расходиться.

Имеем: .

Отдельно найдём неопределённый интеграл методом замены переменной:

Найдем предел:

Таким образом, получили . Следовательно, несобственный интеграл расходится. Значит, в силу интегрального признака Коши, ряд также будет расходиться.

Ответ: расходится.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10, п.10.1, стр. 227 – 240.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 12, § 78, стр. 408-420.