Следствие 1

В плоскости L ₂ через точку A вне прямой a проходит бесконечное множество прямых, не имеющих общих точек с a (расходящихся с a). При этом существует в точности две параллельные g₁ и g₂, имеющие общие точки с a на абсолюте l

A _¥ = g₁ Ç aÎ l, A _¥ = g₂ Ç aÎ l,

Вывод

В модели L ₂ выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

Основные факты в планиметрии Лобачевского

Принятие столь экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L ₂ неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.

Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения прямых на плоскости L ₂. Строгое доказательство этих фактов можно найти, например, в [7].

1. Сумма углов многоугольника в плоскости L ₂

Рассмотрим треугольник (рис. 11, а) с вершинами, лежащими на абсолюте. Так как, по определению абсолюта вершины, А ₁, А ₂, А ₃ бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя сторонами А ₁ А ₂, А ₁ А ₃ и А ₂ А ₃ бесконечной длины. Так как в вершинах А ₁, А ₂ и А ₃ окружности касаются друг друга, то представляемые ими «прямые» А ₁ А ₂, А ₁ А ₃ и А ₂ А ₃ образуют нулевые углы между собой. Аналогично, на рис. 11, b представлен n –угольник с бесконечно длинными сторонами и суммой углов, равной нулю.

Если внутренние окружности на рис. 11, a и b взять чуть большего радиуса, то точки А ₁ А ₂… А_n попадут в плоскость L ₂ (не будут лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными. Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны, если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей (рис. 11, с), то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же несколько меньше 180°.