Вывод 3. Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n–мерное арифметическое евклидово пространство Rn, в котором основные геометрические объекты – прямые

Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n–мерное арифметическое евклидово пространство Rⁿ, в котором основные геометрические объекты – прямые, плоскости размерности 2, 3,..., n –1 – задаются системами алгебраических уравнений. При n >3 отсутствует «геометрическая модель» евклидова пространства, отождествляемая с реальными объектами. Объектами R ⁴ являются лишь мыслимые объекты, представляемые арифметической моделью и «несущие геометрические свойства» по аналогии с R ³. Именно поэтому для определения координат точек «мыслимого» многомерного евклидова пространства требуется аксиома 3 – существования хотя бы одной точки O, для которой определена операция откладывания векторов из E ⁴ и которая считается началом координат в R ⁴: O (0,0,0)Î R ⁴.

Замечание

Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю – наиболее распространенная схема построения арифметической модели Rⁿ, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и т.д.

Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского

Основные понятия модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского

Аксиомы 1–3 I группы аксиом Д. Гильберта вместе с остальными аксиомами II–V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости (см. п.2.2 §2). Заменим аксиому параллельности V этой группы на следующую аксиому.