Определение. Отношение Ð(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð(x,y)º(x~y)

Отношение Ð (x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð (x,y) º (x~y), если выполняются три условия:

Рефлексивности x~x;

Симметричности: если x~y, то y~x;

Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.

Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.

Любое отношение эквивалентности Ð(x, y) для (x, y)Î M ´ M определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x, y Î M попадают в один класс тогда и только тогда, когда x ~ y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению Ð и обозначается M /Ð или M / P, что равносильно в силу следствия 1.

Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M = M È M È…È M … и M Ç M =Æ при i ¹ j, то отношение принадлежности элементов одному классу (x Î M )Ù(y Î M )ºÐ(x, y) удовлетворяет условиям 1) – 3) отношения эквивалентности.