Вывод 1. Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных

Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.

Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.

Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ < ОА. Далее, шар В (О,ОА ₁) Ì B (О,ОА ₂), если ОА ₁< ОА ₂, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В (О, ОР_к), k Î N, где Р_к – любая точка пространства. Определим последовательность точек М_к Î В (О,ОР_к), k Î N условиями а) и b):

а) ОР ₁> ОР ₂>…> ОР_к >…, что означает последовательность вложенных шаров В (О,ОР ₁)É В (О,ОР ₂)É…É В (О,ОР_к) É…;

b) М_к Ï В_{к +1} " к Î N, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.