Теорема 4

Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).

Схема доказательства.

(1) существует точка С, не принадлежащая прямой АВ (акс.3) (рис. 1);

(2) существует точка D на прямой АС и точка C лежит между А и D;

(3) существует прямая ВD, (акс.1–2) и существует точка Е и D лежит между В и Е;

(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F 1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).

(5) аналогично доказывается, что на АF 1существует еще одна точка F 2, и т.д.

Теорема доказана.

Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.