Группа 4. Аксиомы непрерывности

Для описания свойства непрерывности расположения точек на прямой, определения длины отрезка и величины угла, установления взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводим две следующие аксиомы.

18. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ и СD; существует такое натуральное n, что n·СD > АВ (n·СD – обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n раз так, что конец предыдущего откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис. 2.).

19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющая двум требованиям: 1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем 2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.

Аксиомы непрерывности 18–19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.