Задача 1. Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата

Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата.

Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна . Предположение о том, что = p / q – рациональное число опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что = k / q Þ p = 2 q Þ p =2 k Þ 2 q = 4 k Þ q = 2 m Þ = – сократимая дробь, что противоречит несократимости дроби = p / q.

Заметим, что величина является решением уравнения x –2=0. Действительные рациональные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений

x + a x + … + a x + a = 0 (10)

с целочисленными коэффициентами a Î Z, k =1, …, n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число является алгебраическим числом и результатом алгебраической операции – извлечения корня.

Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал (см., например, ([4, с. 63])), что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p / q ни для каких целых p, q Î Z.