Частотные характеристики САУ

Наиболее часто при исследовании динамических свойств элементов и систем применяют гармоническое входное воздействие:

(9)

где и - амплитуда и угловая частота входного воздействия.

Такое воздействие проще осуществить при проведении экспериментов и позволяет при минимальном объёме вычислений получить достаточно полные динамические характеристики элементов и системы.

Если на вход…подавать синусоидальные колебания (1), то на выходе после затухания переходных процессов (этим заниматься не будем) также возникают синусоидальные гармонические колебания с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний:

(10)

где φ – сдвиг по фазе выходных колебаний относительно входных.

Зависимости отношения амплитуд и сдвига по фазе φ от частоты ω

- дают полную картину динамических

свойств САУ или её элементов

получение этих зависимостей значительно упрощается, если использовать комплексную форму описания гармонических сигнало в:

в комплексном виде

входное гармоническое воздействие:

(11)

выходное гармоническое колебание:

(12)

В соответствии с теорией комплексных чисел:

(13)

Отношение значений выходной величины к значениям входной величины в комплексной форме называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы или элемента (АФЧХ):

(14)

W(iω) – называется также частотной передаточной функцией.

W(iω) – это комплексная величина:

Фаза (т.е.угол) – φ

Зависимость модуля АФЧХ от частоты колебаний ω называется амплитудно-частотной характеристикой.

Зависимость сдвига фаз входных и выходных колебаний φ от частоты ω называется фазо-частотной характеристикой

φ(C)

С учетом АЧХ и ФЧХ – АФЧХ (14) можно записать в виде:

Где P(ω) – вещественная часть комплексной величины

W(iω) – называется вещественной частотной характеристикой.

Q(ω) – мнимая частотная характеристика элемента или системы.

Таким образом, получаем пять частотных характеристик элемента или системы:

Амплитудно-фазо-чсастотную (АФЧХ)- W(iω)

Амплитудно-частотную (АЧХ) А(ω)

Фазо-частотную (ФЧХ) φ(ω)

Вещественную-=частотную (ВЧХ) Р(ω)

Мнимую частотную (МЧХ) Q(ω)

Между ними имеется ряд завсимостей:

(18)

(19)

А теперь рассмотрим общее уравнение динамики при подаче на вход элемента или системы гармонических колебаний.

(20)

(21)

(22)

Подставляя (22) в (20) получим:

(23)

Отношение называется передаточной функцией. В данном случае это будет частотная передаточная функция:

(24)

Из сравнения передаточной функции с ранее полученными передаточными функциями и видно, что АФЧХ можно получить непосредственно из передаточных функций или , заменив символы p или s на .

Итак, уравнение динамики элемента или системы в случае гармонического входного воздействия записывается в виде:

(25)

В инженерных расчётах широко используется графическое изображение АФЧХ на комплексной плоскости в координатах (P; iQ).

График АФЧХ на комплексной плоскости называется годографом АФЧХ - это симметрично замкнутая кривая, радиус–вектором при изменении частоты от 0 до

Каждый типовой элемент САУ (так же как и типовые САУ) имеет свой характерный годограф АФЧХ.