Преобразования Лапласа уравнений динамики

Решение дифференциальных уравнений динамики САУ, значительно упрощается, если их преобразовать по Лапласу. Этот метод основан на использовании интеграла Лапласа:

, (1)

который переводит функцию-оригинал f(t) в функцию-изображение F(S),
где S – комплексное время.

Т.о. t S; f(t) F(S);

Таким образом, с помощью преобразования Лапласа функции действительного переменного{f(t)} ставится в соответствие функция комплексного переменного{F(S)}.

Для сокращения записи интегральное преобразование (1) обычно записывается в виде:

(2)

Обратный переход от изображения к функции-оригиналу осуществляется обратным преобразованием Лапласа:

(3)

Прямое и обратное преобразования Лапласа для широкого класса различных функций определены и сведены в таблицы.

Важнейшим преимуществом использования преобразований Лапласа является то, что сложные операции дифференцирования и интегрирования функций-оригиналов для их изображений заменяются простыми алгебраическими действиями – умножением и делением:

Некоторые свойства:

Произведём преобразования Лапласа общего дифференциального уравнения динамики элементов САУ:

(4)

t S оригинал изображение

Используя свойства преобразований Лапласа, получим:

(5)

или

(6)

Обозначим:

Тогда уравнение (6) запишем в виде:

Отношение - передаточная функция

для изображений входной и выходной переменных;

т.о. (8)

Решение дифференциальных уравнений динамики САУ не в действительных переменных x(t), y(t), а в их изображениях X(S), Y(S) сводится к простым алгебраическим операциям (сложение, вычитание, умножение, деление), т.е. элементарно. Таким образом определяется выходная функция-изображение Y(S).

Затем обратным преобразованием Лапласа находится функция-оригинал y(t).

Динамические характеристики САУ

Свойства элементов, их соединений и САУ в целом определяются их характеристиками.

САУ и её элементы имеют статические и динамические характеристики

Статические характеристики определяют зависимость между выходной и входной величинами элемента или системы в установившемся состоянии.

Динамические характеристики определяют свойства элементов или системы в переходном процессе.

Динамические характеристики подразделяются на временные (переходные) и частотные.

Знание характеристик элементов и САУ необходимо для оценки их динамических свойств, анализа и синтеза систем с требуемым качеством функционирования.