Закони розподілу

Випадкова величина Х може набути значень

x₀=0, x₁=1, x₂=2,...x_n=n

Ймовірності можливих значень x_k випадкової величини Х обчислимо за біномною формулою:

p_k=P_n(k)=C_n^kp^kq^n-k, q=1-p

і одержимо закон розподілу описаної випадкової величини Х, який називається біномним

X=xk				….	n
p=pk	qn	Cn1pqn-1	Cn2p2qn-2	….	pn

Приклад 4. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента в одному випробуванні дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа відмовили елементів в одному досвіді.

Розв’язок. Дискретна випадкова величина X (число відмовили елементів в одному випробуванні) має наступні можливі значення:

х₁ = 0 (жоден з елементів пристрою не відмовив),

х₂ = 1 (відмовив один елемент),

х₃ = 2 (відмовили два елементи) і

х₄ = 3 (відмовили три елементи).

Відмови елементів незалежні один від іншого, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому можна застосувати формулу Бернуллі. Враховуючи, що, за умовою, n = 3, р = 0,1 (отже, (q = 1-0,1 = 0,9), отримаємо:

Р₃(0) =q³ = 0,9³ = 0,729;

Р₃(1) = C₃¹ *p*q²= 3*0,1*0,9²=0,243;

P₃(2)=C₃²*p²*q=3*0,1²*0,9=0,027

P₃(3)= p³ =0,1³ = 0,001.

Перевірка: 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.

Запишемо у вигляді таблиці біномний закон розподілу X:

X
P	0,729	0,243	0,027	0,001

Якщо число випробувань велике, а ймовірність р появи події в кожному випробуванні дуже мала, то використовують наближену формулу:

P_n(k)=

Розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень

x_k: 0, 1, 2, …, n

з ймовірностями

p_k=P{X=x_k}= k=0, 1, 2, …, n

називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра λ, λ>0.

Розподіл Пуассона записують у формі таблиці:

X=xk				…	n
p=pk	e-λ			…

Приклад 5. Підручник видано тиражем 100 000 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно п'ять бракованих книг.

Розв’язок. За умовою, n = 100 000, р = 0,0001, k = 5. Події, що складаються в тому, що книги зброшуровані неправильно, незалежні, число n велике, а ймовірність р мала, тому скористаємося розподілом Пуассона p_k=P{X=x_k}= k=0, 1, 2, …, n

Знайдемо λ:

λ= nр = 100 000 * 0,0001 = 10.

Шукана ймовірність

P_{100 000} (5) = 10⁵*e^-10/5 =10⁵ *0,000045/120 = 0,0375