Дисперсія випадкової величини

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення від її математичного сподівання.

D(X) = M[X—N(X)]².

Дисперсію зручніше обчислювати за формулою:

D(X) = M(X²)–[M(X)]².

Властивості дисперсії.

Властивість 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю

D(С)=0

Властивість 2. Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто:

D(СX)=С² D(X)

Властивість 3. Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

D(x₁ + x₂+...+x_n) = D(x₁)+ D(x₂)+..+ D(x_n).

Дисперсія біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появленні події в одному випробуванні:

D(X) = npq.

Середнє квадратичне відхилення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величину називають квадратний корінь з дисперсії:

δ(Х)= .

Приклад 3. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

X -5 2 3 4

Р 0,4 0,3 0,1 0,2

Розв’язок. Дисперсію можна обчислити виходячи з її визначення, проте ми скористаємося формулою яка швидше веде до мети.

Знайдемо математичне сподівання X:

M (Х) = -5 * 0.4 + 2 * 0.3 + 3 * 0.1 +4 * 0.2 = -0,3.

Напишемо закон розподілу Х²:

Х² 25 4 9 16

р 0,4 0,3 0,1 0,2

Знайдемо математичне сподівання Х²:

M (Х²) = 25 * 0.4 + 4 * 0,3 + 9 * 0,1 + 16 * 0,2 = 15,3,

Знайдемо шукану дисперсію:

D (X) = M (X²) - [M (X)] ² = 15,3 - (-0,3)² = 15,21.

Знайдемо шукане середньоквадратичне відхилення:

δ(X) == [D(X)]^1/2 =(15.21)^1/2 =3,9.