Теоретична частина. Математичне сподівання

Математичне сподівання.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

М(X) = x₁p₁ + x₂p₂+... +x_np_n

Якщо дискретна випадкова величина приймає рахункове безліч можливих значень, то.

M(X)=∑x_ip_i,

причому математичне сподівання існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно.

Математичне сподівання має такі властивості:

Властивість 1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто:

М(С)==С.

Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання:

М(СХ)==СМ(Х).

Властивість 3. Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин:

М (x₁x₂...x_n)=М (x₁)*М(x₂)*..*М (x_n)

Властивість 4. Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань:

М(x₁ + x₂+...+x_n) = М(x₁)+М(x₂)+..+М(x_n).

Властивість 5. Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число C, то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число:

M(X–C)=M(X)–C

Математичне сподівання біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

М(Х) = nр.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання заданим наступним законом розподілу:

Х -2 0,58 4 5,2

Р 0,1 0,2 0,4 0,3

Розв’язок. Математичне сподівання дорівнюється сумі добутку всіх можливих значень на його ймовірності.

М(Х)=-2*0,1+0,58*0,2+4*0,4+5,2*0,3=3,076

Приклад 2. Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні сподівання X і Y:

Z = X+2У, M(X) = 5, M(Y) = 3

Розв’язок. Використовуючи властивості математичного сподівання (математичне сподівання суми дорівнює сумі математичних сподівань доданків; постійний множник можна винести за знак математичного очікування), отримаємо:

M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2У)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.