Первомайський політехнічний коледж

Вероятность брака при производстве некоторого изделия равна В этом случае производитель терпит убытки в размере 30 у.е. При изготовлении небракованного изделия производитель получает прибыль в размере 20 у.е. Если изготовлено 3 изделия, то ожидаемая средняя прибыль (убыток) производителя будет равна ____ у.е.

Составим закон распределения дискретной случайной величины – прибыли производителя: Тогда ожидаемая средняя прибыль производителя определяется как математическое ожидание

39. Состояния банка характеризуются годовыми процентными ставками, равными соответственно 5 %, 7 % и 9 %. Эти ставки устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Размеченный граф состояний с постоянными значениями переходных вероятностей представлен на рисунке:

Тогда матрица вероятностей перехода из состояния в состояние имеет вид …

Согласно размеченному графу состояний, определим вероятности перехода из состояния : в состояние – 0,1, в состояние – 0,4 и в состояние – Определив аналогично остальные вероятности, получаем искомую матрицу

40. Состояния банка характеризуются годовыми процентными ставками, равными соответственно 5 %, 7 % и 9 %. Эти ставки устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Размеченный граф состояний с постоянными значениями переходных вероятностей представлен на рисунке:

Установите соответствие между вектором вероятностей состояний банка в момент времени (год) и вектором вероятностей состояний через один год:
1)
2)
3)

Воспользуемся формулой Тогда: 1) 2) 3)

41. Состояния банка характеризуются годовыми процентными ставками, равными соответственно 5 %, 7 % и 9 %. Эти ставки устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Размеченный граф состояний с постоянными значениями переходных вероятностей представлен на рисунке:

В 2011 году процентная ставка была равна 5 %. Тогда значение в начале 2013 года равно …

Воспользуемся формулой Тогда последовательно: Следовательно, значение в начале 2013 года равно

Алеся Трухан

2 За успешное участие в соревнованиях спортсмена могут наградить ценным призом (событие ), медалью (событие ), грамотой (событие ). Тогда событие, заключающееся в том, что случайно отобранный спортсмен был награжден только грамотой, будет представлять собой выражение …

3 Задание № 3

В урне лежат 12 шаров, среди которых 7 шаров белые. Наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна …

Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, – оба шара будут белыми. Тогда Так как, по условию задачи, события и зависимы, то Применив классическое определение вероятности, вычислим вероятность и условную вероятность Тогда

Задание № 4

В первой урне 8 черных и 2 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна …

Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь: – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда

Задание № 5

Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда значение a равно …

Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то .

Задание № 6

Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

По определению
Тогда
а) при ,
б) при
в) при , .
Следовательно,

Задание № 7

Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно …

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле: Вычислим предварительно неизвестную вероятность
Тогда

Задание № 8

Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,8. Тогда математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа появлений события A в проведенных испытаниях – равно …

Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей. Поэтому

Задание № 9

Семена содержат 0,15% сорняков. Тогда вероятность того, что при случайном отборе 2000 сорняков будет обнаружено не более двух семян сорняков, можно определить как …

Так как число «испытаний» достаточно велико, а вероятность наступления соответствующего события в одном испытании достаточно мала, то воспользуемся формулой Пуассона вида
где
Тогда

Задание № 10

Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид а вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге равен Тогда вероятность того, что на втором шаге цепь Маркова находилась в состоянии равна …

Так как вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге можно вычислить как: то
Вычислим обратную матрицу
Тогда то есть

Задание № 11

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Воспользуемся формулой Тогда

Задание № 12

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: Тогда и

Задание № 13

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно …

Вычислим предварительно плотность распределения вероятностей по формуле: Тогда и

Следовательно,

Задание № 14

Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины изображена на рисунке:

Тогда ее дисперсия равна …

Дисперсия случайной величины , распределенной равномерно в интервале , находится как , то есть

Задание № 15

Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле
Тогда:
если то следовательно
если то
Тогда:

Задание № 16

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале можно вычислить как …

Если плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид то вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале , определяется формулой:
где – функция Лапласа.
Тогда так как

Задание № 17

Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Задание № 18

Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей при условии, что составляющая приняла значение имеет вид …

Условным законом распределения составляющей при называют совокупность условных вероятностей вида: , где . Эти вероятности вычисляются по формуле:
.
Найдем вероятности возможных значений при условии, что составляющая приняла значение


Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей примет вид:

Задание № 19

Дискретные случайные величины и заданы законами распределения вероятностей:

Тогда закон распределения вероятностей функции имеет вид …

Чтобы найти возможные значения случайной величины умножим каждое возможное значение на все возможные значения случайной величины :
Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей сомножителей: Тогда закон распределения вероятностей функции примет вид:

Задание № 20

Ковариационная матрица для системы случайных величин может иметь вид …

Для системы, состоящей из случайных величин или случайного вектора ковариационная матрица размерности состоит из элементов , удовлетворяющих условиям: и
Этим условиями удовлетворяет, например, матрица

адание № 21

Вероятность появления события в каждом из 250 проведенных испытаний равна 0,4. Тогда вероятность того, что число появлений события будет заключено в пределах от 80 до 120, можно оценить с использованием неравенства Чебышева как …

Воспользуемся неравенством Чебышева вида:
Вычислив получаем:

Задание № 22

Вероятность появления события в каждом из 600 проведенных испытаний равна 0,7. Тогда вероятность того, что относительная частота появлений события будет заключена в пределах от 0,68 до 0,72%, можно оценить с использованием неравенства Бернулли как …

Воспользуемся неравенством Бернулли вида: где Тогда

Задание № 23

Вероятность появления некоторого события в каждом из 200 независимых испытаний постоянна и равна 0,4. Тогда вероятность того, что событие появится ровно 104 раза, следует вычислять как …

Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным.
Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа где
Следовательно,

Задание № 24

Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Тогда вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700 семян, следует вычислять как …

Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) а неравенств вида Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа где – функция Лапласа, а
Следовательно,

Задание № 25

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

Тогда значение равно …

Объем выборки вычисляется по формуле , где – частота варианты . Тогда

Задание № 26

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид:

Тогда число вариант