Лекция 2 Операции над множествами

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.

Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.

Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:

По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.

Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:

Множество А\В называется также дополнением множества В относительно множества А.

Определение 4: Если U – универсальное множество и А Ì U, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:

Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое А D В и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А \ В или В \ А:

Пример:

Выписать все подмножества трёхэлементного множества М ={ а, b, c }.

М

{ а, b, c }

{ а, b } { а, c } { b, c }

{ а } { b } { c }

Æ

Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.

Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.

В теории алгебры множеств множестваÆ и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.

Основные свойства алгебры множеств:

	Объединение È	Пересечение Ç	Разность \	Симметрическая разность D
Коммутативность	А È В = В È А	А Ç В = В Ç А	¾	А D В = В D А
Ассоциативность	(А È В)È С = А È(В È С)	(А Ç В)Ç С = А Ç(В Ç С)	¾	(А D В)D С = А D(В D С)
Дистрибутивность	(А Ç В)È С =(А Ç С)È(В Ç С)	(А È В)Ç С =(А È С)Ç(В È С)	¾	¾
Дистрибутивность	(А \ В)È С =(А \ С)È(В \ С)	(А \ В)Ç С =(А \ С)Ç(В \ С)	¾	¾
	А È А =	А Ç А =	А \ А =	А D А =Æ
	А È Ā =	А Ç Ā =	А \ Ā =	А D Ā =
	Ā È А =	Ā Ç А =	Ā \ А =	Ā D А =
	А ÈÆ=	А ÇÆ=	А \Æ=	А DÆ= А
	ÆÈ А =	ÆÇ А =	Æ\ А =	ÆD А = А
	А È U =	А Ç U =	А \ U =	А D U =
	U È А =	U Ç А =	U \ А =	U D А =
	U ÈÆ=	U ÇÆ=	U \Æ=	U DÆ=
	ÆÈ U =	ÆÇ U =	Æ\ U =	ÆD U =
Законы де Моргана			¾	¾
				¾