Лекция 1 Множества

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоскость и множество. Для всех остальных понятий будут даны определения.

Под множеством понимают совокупность некоторых элементов.

Определение 1: Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми буквами.

Если х — элемент множества X, то пишут х Î Х.

Если х не является элементом множества X, то пишут х Ï Х.

Запись Х ={ х ₁,..., х_n } означает, что множество X состоит из элементов х ₁,..., х_n. Аналогична запись Х ={ х ₁, х ₂, х ₃,...}.

Например:

запись А ={0; 1; 25} – означает, что множество А состоит из трёх чисел 0; 1 и 25;

запись А ={ х: 1< x <25} – означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено) чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1< x <25;

запись А ={ х Î N | 1< x <25} – означает, что множество А состоит из всех натуральных чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1< x <25.

Множество может задаваться:

путём перечисления его элементов, обычно перечислением задают конечные множества или списком;

заданием выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными;

путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

Пусть X и Y —два множества.

Определение 2: Множество X содержится в Y (или X есть подмножество множества Y), если в X нет элементов, не принадлежащих Y (Х Ì Y или Y É X (X содержится в Y или Y содержит X).

знак Ì - строгое включение;

знак Í - нестрогое включение;

Если не оговорено, есть ли во множестве Y, ещё какие-либо элементы, кроме всех элементов множества X, то употребима запись X Í Y; в противном случае, когда оговорено, что во множестве Y есть ещё другие элементы, кроме всех элементов множества X, употребима запись X Ì Y.

Определение 3: Множества X и Y совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов (Х = Y). Другими словами: Множества X и Y равны (совпадают), если Х Ì Y и Y Ì X.

Определение 4: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пустое множество является подмножеством любого множества: ÆÌ Х.

При работе в конкретной предметной области обычно ограничиваются некоторой совокупностью объектов.

Определение 5: Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют основным, базовым (универсальным, универсумом) множеством и обозначается U. Или другими словами: все в дальнейшем рассматриваемые (в некотором контексте) множества являются его подмножествами. Данное понятие относительное.

Определение 6: Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным.

Упорядоченное множество в отличие от просто множества записывают внутри круглых скобок.

Множества бывают конечными или бесконечными.

Определение 7: Если число элементов множества конечно — множество называется конечным.

Определение 7: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества (численностью, размером, нормой, длиной и др.) и обозначается | А |.

Определение 8: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимнооднозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел, то говорят, что множество счётно.