Непрерывность функции. 1.Односторонние пределы функции в точке.

1. Односторонние пределы функции в точке.

· Правый предел: .

· Левый предел: .

2. Условия непрерывности функции в точке .

Функция f(x) непрерывна в точке , если она определена в точке и имеет конечные односторонние пределы в этой точке, причем справедливо равенство:

.

Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то – точка разрыва функции.

3. Виды точек разрыва.

В точке – разрыв 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке , но они либо не равны между собой, либо не равны значению функции в точке .

Причем, разрыв 1-го рода называется:

· неустранимым, если ;

· устранимым, если .

В точке – разрыв 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в не существует или равен бесконечности.

4. Свойства и графики основных элементарных функций.

К основным элементарным функциями относятся следующие функции:

· степенные: ;

например:

· показательные: ;

например: где ;

· логарифмические: ;

например: ;

· тригонометрические: ;

· обратные тригонометрические: .

Графики этих функций приведены в прил. 2.

Отметим, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

5. Наиболее часто встречающиеся элементарные функции.

· Линейная функция задает прямую линию на плоскости. Ее график можно построить по двум любым выбранным точкам. В частности, линейная функция задает на плоскости прямую, параллельную оси .

· Квадратичная функция задает параболу. Вершина параболы находится в точке , . Ветви параболы направлены вверх, если , или вниз, если .

Задача. Исследовать на непрерывность функцию в области ее определения. Указать вид точек разрыва, если они имеются. Построить график.

Решение. а) Функция определена при и непрерывна на интервалах , и , так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При :

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке разрыв второго рода.

При :

Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке имеется разрыв первого рода, неустранимый.

Строим график функции (рис. 2).

y

2,5

-1 0 1 3 4 x

-1

Рис. 2.

При строим график показательной функции , а при – график логарифмической функции (прил. 2).

При график функции – прямая . Ее удобно строить по двум точкам, например, (3;2,5) и (4;3), так как при , ; при , .

Ответ. Функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеется разрыв второго рода, и точки , где имеется разрыв первого рода.

б)

Функция определена при и непрерывна на интервалах , , так как задана на них основными элементарными функциями. При – непрерывна как частное непрерывных функций, где знаменатель .

Исследуем на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений для функции . Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При :

Так как в точке односторонние пределы равны, и они равны значению функции в этой точке , то функция непрерывна в точке (по определению).

При :

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке имеется разрыв второго рода.

Строим график функции (рис. 3).

При графиком функции является график тригонометрической функции (прил. 2).

При график функции – прямая , параллельная оси .

При график функции – гипербола , смещенная на 2 единицы вправо по оси х: . График строится по нескольким точкам, взятым из указанного промежутка. Например, при , ; при , . Таким образом, получены точки графика (2,5;2) и (3;1).

Полезно учесть также, что

y

1

-

x

-1

Рис.3.

Ответ. Функция имеет разрыв второго рода в точке , в остальных точках функция непрерывна.