![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Односторонние пределы функции в точке.
· Правый предел: .
· Левый предел: .
2. Условия непрерывности функции в точке .
Функция f(x) непрерывна в точке , если она определена в точке
и имеет конечные односторонние пределы в этой точке, причем справедливо равенство:
.
Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то – точка разрыва функции.
3. Виды точек разрыва.
В точке – разрыв 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке
, но они либо не равны между собой, либо не равны значению функции в точке
.
Причем, разрыв 1-го рода называется:
· неустранимым, если ;
· устранимым, если .
В точке – разрыв 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в
не существует или равен бесконечности.
4. Свойства и графики основных элементарных функций.
К основным элементарным функциями относятся следующие функции:
· степенные: ;
например:
· показательные: ;
например: где
;
· логарифмические: ;
например: ;
· тригонометрические: ;
· обратные тригонометрические: .
Графики этих функций приведены в прил. 2.
Отметим, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
5. Наиболее часто встречающиеся элементарные функции.
· Линейная функция задает прямую линию на плоскости. Ее график можно построить по двум любым выбранным точкам. В частности, линейная функция
задает на плоскости прямую, параллельную оси
.
· Квадратичная функция задает параболу. Вершина параболы находится в точке
,
. Ветви параболы направлены вверх, если
, или вниз, если
.
Задача. Исследовать на непрерывность функцию в области ее определения. Указать вид точек разрыва, если они имеются. Построить график.
Решение. а) Функция определена при
и непрерывна на интервалах
,
и
, так как задана на них основными элементарными функциями.
Исследуем функцию на непрерывность в точках
и
, где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.
При :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке разрыв второго рода.
При :
Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке имеется разрыв первого рода, неустранимый.
Строим график функции (рис. 2).
y
2,5
-1 0 1 3 4 x
-1
Рис. 2.
При строим график показательной функции
, а при
– график логарифмической функции
(прил. 2).
При график функции – прямая
. Ее удобно строить по двум точкам, например, (3;2,5) и (4;3), так как при
,
; при
,
.
Ответ. Функция непрерывна во всех точках, кроме точки
, где имеется разрыв второго рода, и точки
, где имеется разрыв первого рода.
б)
Функция определена при
и непрерывна на интервалах
,
, так как задана на них основными элементарными функциями. При
– непрерывна как частное непрерывных функций, где знаменатель
.
Исследуем на непрерывность в точках и
, где происходит смена аналитических выражений для функции
. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.
При :
Так как в точке односторонние пределы равны, и они равны значению функции в этой точке
, то функция
непрерывна в точке
(по определению).
При :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке имеется разрыв второго рода.
Строим график функции (рис. 3).
При графиком функции
является график тригонометрической функции
(прил. 2).
При график функции – прямая
, параллельная оси
.
При график функции – гипербола
, смещенная на 2 единицы вправо по оси х:
. График строится по нескольким точкам, взятым из указанного промежутка. Например, при
,
; при
,
. Таким образом, получены точки графика (2,5;2) и (3;1).
Полезно учесть также, что
y
1
-
x
-1
Рис.3.
Ответ. Функция имеет разрыв второго рода в точке
, в остальных точках функция непрерывна.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 569 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!