Аналитическая геометрия на плоскости

1. Основные формулы метода координат.

· Формула расстояния между двумя точками А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B):

· Формула нахождения координат точки Е – середины отрезка АВ:

2. Уравнения прямой на плоскости.

Прямую линию на плоскости можно задавать различными способами, приведем некоторые их них.

• Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0,

• Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

y = kx+b.

Если известны координаты двух различных точек А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B) на прямой, то угловой коэффициент можно вычислить по формуле

• Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку (x₀;y₀):

Если в этом уравнении менять k, то получим семейство прямых, проходящих через точку (x₀;y₀), которое называют «пучком прямых».

• Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B):

,

где .

Если , то прямая параллельна оси Oy, ее уравнение: x = x_A.

Если , то прямая параллельна оси Ox, ее уравнение: y = y_A.

Обратите внимание, что уравнение прямой, в каком бы виде оно ни было записано, является уравнением первой степени.

3. Взаимное расположение прямых.

Пусть k₁ и k₂ – угловые коэффициенты двух прямых.

Формула нахождения тангенса острого угла между прямыми:

· Условие параллельности прямых: .

· Условие перпендикулярности прямых: .

4. Положение точки относительно прямой.

Формула нахождения расстояния от точки М(x₀;y₀) до прямой

Ax + By + C = 0:

Точка М(x₀;y₀) лежит на прямой Ax + By + C = 0, если ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. справедливо равенство

Ax₀ + By₀ + C = 0.

Задача. Даны вершины треугольника А(2;1), В(–4;4), С(–1,5). Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол при вершине А;

3) уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

4) уравнение медианы ВЕ, проведенной через вершину В;

5) точку пересечения высоты CD и медианы ВЕ;

6) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис. 1). Построим точки А(2;1), В(–4;4), С(–1;5) в прямоугольной системе координат O xy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Обратите внимание, что , а точка Е – середина отрезка АС.

Рис. 1

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(2;1) и В(–4;4):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда,

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса (см. прил. 3) определяем, что такое значение тангенса соответствует углу А 26,6⁰.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

.

По условию перпендикулярности СD и АВ:

Ранее (см. п. 2) было найдено: .

Тогда,

Подставим в уравнение получим

у –5=2(х+1);

у –5=2х+2;

2х – у+7=0 – уравнение высоты СD.

Замечание. Всегда следует проверять полученные результаты, причем это делать надо не простым повторением действий, а каким-либо другим способом. Например, в полученное уравнение высоты СD подставьте координаты точки С, должно получится очевидное равенство.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В (– 4;4) и Е , воспользовавшись формулой: .

2х+9у–28=0 – уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

В результате получим точку пересечения К (–1,75; 3,5), коорди­наты которой соответствуют точке на чертеже (рис. 1).

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ поформуле

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

, где .

Получим ;

;

;

х+2у – 4 = 0 – уравнение прямой АВ.

Тогда, .

Ответы. 1)

2)

3) 2х – у+7 = 0 – уравнение высоты СD;

4) 2х+ 9у –28 = 0 – уравнение медианы ВЕ;

5) К (–1,75; 3,5);

6)