Теорема про зміну кінетичної енергії системи

Якщо розглядати будь-яку точку системи з масою m_k, яка має швидкість , то для цієї точки буде справедливим вираз для кінетичної енергії точки в диференціальній формі

,

де та – елементарні роботи зовнішніх та внутрішніх сил, що діють на точку. Склавши такі рівняння для кожної з точок системи і додаючи їх почленно, одержимо

,

або

.

Одержаний вираз визначає теорему про зміну кінетичної енергії системи у диференціальній формі. Проінтегрувавши обидві частини цього рівняння в межах, відповідних переміщенню системи з деякого початкового положення з величиною кінетичної енергії Т ₀, в конечне положення з величиною кінетичної енергії Т ₁, одержимо

Т ₁ – Т ₀ = .

Це рівняння виражає теорему про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії системи при будь-якому її переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх прикладених до системи сил.

На відміну від попередніх теорем внутрішні сили з виразів для теореми не виключаються.

Розглянемо два важливих часткових випадки, коли робота внутрішніх сил дорівнює нулю.

1. Незмінювана система. Незмінюваною є механічна система, у якої віддаль між кожними двома точками, залишається під час руху незмінною. Прикладом такої системи є тверде тіло.

Дві будь-які точки такої системи діють одна на одну з рівними по модулю і протилежно направленими силами: . Оскільки при русі точок їх елементарні переміщення однакові, то елементарні роботи сил будуть рівними по модулю, але матимуть різні знаки. Внаслідок цього сума елементарних робіт дорівнюватиме нулю.

2. Система з ідеальними в’язами. Розглянемо систему, на яку накладені в’язі, які не змінюються з часом. Поділимо всі зовнішні і внутрішні сили, що діють на точки системи, на активні та реакції в’язей. Тоді вираз теореми в диференціальній формі матиме вигляд

dT = ,

де – елементарна робота зовнішніх та внутрішніх сил, які діють на k -у точку системи, а – елементарна робота реакцій накладених на точку зовнішніх та внутрішніх в’язей.

Зміна кінетичної енергії системи, таким чином, залежить від роботи активних сил і реакцій в’язей. Але можна ввести поняття про такі „ідеальні” механічні системи, в яких наявність в’язей не впливає на зміну кінетичної енергії системи при її русі. Для таких в’язей повинна, очевидно, виконуватися умова

0.

Якщо для в’язей, які не змінюються з часом, сума робот всіх реакцій при елементарному переміщенні системи дорівнює нулю, то такі в’язі є ідеальними. Наведемо приклади ідеальних в’язей.

Гладенька площина або поверхня. При ковзанні тіла вздовж такої поверхні робота реакції дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна елементарному переміщенню точки.

Кочення тіла без ковзання по шорсткій поверхні. Якщо знехтувати деформаціями, то при коченні тіла без ковзання по шорсткій поверхні робота нормальної реакції і сили тертя дорівнює нулю, оскільки сили прикладені в миттєвому центрі швидкостей.

Циліндричний або сферичний шарнір. Робота реакції шарніра, якщо знехтувати тертям, буде теж дорівнювати нулю, оскільки точка прикладення сили при будь-якому переміщенні системи залишається нерухомою.

Невагомий стержень. Якщо дві матеріальні точки з’єднані невагомим стержнем, то сили і будуть реакціями стержня; робота кожної з цих реакцій при переміщенні системи не дорівнює нулю, але сума цих робіт, як і у випадку незмінюваної системи, дорівнює нулю.

Взаємне кочення тіл. При взаємному коченні двох тіл без проковзування, наприклад, у фрикційній передачі, сили тертя в точці дотику мають протилежні напрямки, а елементарне переміщення однакове, тому елементарні роботи сил в сумі дорівнюють нулю.

Практична цінність теореми про зміну кінетичної енергії системи, таким чином, полягає в тому, що при ідеальних в’язях, які не змінюються з часом, вона дозволяє виключити з розгляду всі наперед невідомі реакції в’язей.

Розглянемо приклад застосування теореми для розв’язування задач.

Транспортер приводиться до руху із стану спокою приводом, який приєднаний до нижнього шківа В. Привід надає шківу постійний крутний момент М. Визначити швидкість стрічки транспортера v в залежності від її переміщення s, якщо маса тягаря А, який піднімається, дорівнює М ₁, а шківи В і С радіусом r і масою М ₂ кожний являють собою однорідні круглі циліндри. Стрічка транспортера, масою якої можна знехтувати, утворює з горизонтом кут (рис. 8.3). Ковзання стрічки по шківам відсутнє.

Розв’язання: показуємо переміщення s вантажу А для довільного положення та за­даємо його швидкість v і ку­тову швидкість шківів ω. Прикладаємо до тіл системи сили ваги , i , реак­ції опор і та крутний момент М.

Запишемо вираз теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи в інтег­ральній формі:

В початковий момент часу система знаходилась у стані спокою, тоді Т ₀ = 0. Система включає тверді тіла, а проковзування стрічки транспортера по шківах відсутнє, тоді В результаті маємо:

Знаходимо кінетичну енергію системи:

Т = Т_А + Т_В + Т_С.

Вантаж А виконує поступальний рух: Шківи виконують обертальний рух:

Виразимо кутову швидкість ω через швидкість v вантажу А:

Момент інерції шківів:

В результаті одержимо:

Тоді

Знаходимо роботу зовнішніх сил. Робота сили ваги : А () = - М ₁ g sin α·s. Сили ваги i та реакції опор і роботи не виконують, оскільки точки прикладання не перемі­щуються. Робота крутного моменту: А (М) = М · φ, де φ - кут повороту шківа В. Оскільки φ = s/r, то А (М) = М · s/r. Сумарна робота зовнішніх сил:

Прирівнявши вирази для кінетичної енергії та роботи сил, одержимо:

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: кінетична енергія матеріальної точки – с. 213; кінетична енергія механічної системи – с. 301-302; знаходження кінетичної енергії в різних випадках руху твердого тіла – с. 302-303; теорема про зміну кінетичної енергії точки – с. 213-215; теорема про зміну кінетичної енергії системи – с. 307-309.

Питання для самоконтролю

1. Запишіть загальний вираз для кінетичної енергії механічної системи.

2. Запишіть вирази для знаходження кінетичної енергії твердого тіла при поступальному, обертальному і плоскопаралельному рухах.

3. Запишіть вираз теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи в інтегральній формі.

4. В якому випадку робота внутрішніх сил в механічній системі дорівнює нулю?

5. Які в’язі називаються ідеальними? Наведіть приклади ідеальних в’язей.

ЛЕКЦІЯ Д9