Знаходження кінетичної енергії в різних випадках руху твердого тіла

Скориставшись загальним виразом, знайдемо формули для обчислення кінетичної енергії твердого тіла в різних випадках руху.

1. Поступальний рух. У цьому випадку всі точки тіла рухаються з однаковими швидкостями, які дорівнюють швидкості центру мас. Отже, для будь-якої точки v_k = v_C, тоді

Т_пост = ,

або

Т_пост = .

Таким чином, кінетична енергія тіла при поступальному русі дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості центру мас.

2. Обертальний рух. Якщо тіло обертається навколо осі Oz, то швидкість будь-якої його точки , де h_k – віддаль точки до осі обертання, а – кутова швидкість тіла. Після підстановки цієї величини в загальний вираз отримаємо

Т_об = .

Величина, яка стоїть у дужках, являє собою момент інерції тіла відносно осі z. Таким чином, остаточно знайдемо

Т_об = .

тобто, кінетична енергія тіла при обертальному русі дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат її кутової швидкості.

3. Плоскопаралельний рух. При цьому русі швидкості всіх точок тіла в кожен момент часу розподілені так, ніби тіло обертається навколо осі, перпендикулярної площині руху, яка проходить через миттєвий центр швидкостей Р (рис. 8.1).

Тоді

Т_плоск = ,

де J_Р – момент інерції тіла відносно вказаної осі; – кутова швид­кість тіла.

Величина J_Р у в одержаному виразі буде змінною, оскільки положення центру Р при русі тіла весь час змінюється. Введемо замість J_Р постійний момент інерції J_С відносно осі, яка проходить через центр мас С тіла. За теоремою Гюйгенса-Штейнера

J_Р = J_С + Md ²,

де d = PC. Підставимо цей вираз для J_Р та врахуємо, що точка Р – миттєвий центр швидкостей, тоді

,

де v_C – швидкість центру мас С.

Остаточно знайдемо

Т_плоск = .

Отже, при плоскопаралельному русі кінетична енергія тіла дорівнює енергії поступального руху зі швидкістю центра мас, складеною з кінетичною енергією обертального руху навколо центру мас.