Найпростіші задачі теорії надійності

Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.

Нехай випадкова величина T – час роботи системи (або окремого її вузла) до моменту втрати працездатності (до відмови). Важливою характеристикою працездатності є математичне сподівання часу безвідмовної роботи MT.

Приклад 1. Показати, що MT= , де P(t) – функція надійності (пункт 2.1.3, зауваження).

Розв’язок. Нехай p_T (t) – щільність ймовірності випадкової величини T. Тоді p_T (t) = . Використавши формулу інтегрування по частинах, одержимо

.

Оскільки P(+¥) = 0, то .

Приклад 2. Час безвідмовної роботи кожного із двох незалежних паралельно з’єднаних елементів (навантажений резерв) розподілений за показниковим законом з параметрами l₁ і l₂ відповідно. Знайти середній час безвідмовної роботи блока (мал. 3.9).

Розв’язок. Із теорем додавання і множення ймовірностей випливає, що

P(t) = P₁(t)+P₂(t) – P₁(t)·P₂(t),

де P(t), P₁(t), P₂(t) – відповідно функції надійності блока, першого і другого елемента. Оскільки P₁(t) = , P₂(t) = (пункт 2.1.3, зауваження), то

P(t) = .

Таким чином, середній час безвідмовної роботи блоку на підставі результату прикладу 1 дорівнює

.

Якщо l₁ = l₂ = l, то MT= 3 / (2l), що у півтора рази перевищує час безвідмовної роботи одного елемента.

Приклад 3. Система складається із двох паралельно з’єднаних незалежних елементів. Час безвідмовної роботи кожного розподілений за показниковим законом з параметрами l₁ і l₂ відповідно. До моменту виходу із ладу елемента 1 елемент 2 вимкнено. Він включається в роботу в момент виходу із ладу елемента 1 (ненавантажений резерв). Знайти функцію надійності системи і середній час роботи блоку до відмови.

Розв’язок. Нехай T ₁ і T ₂ відповідно час безвідмовної роботи першого і другого елементів, T – час безвідмовної роботи системи (мал.3.10). Тоді T=T ₁ +T ₂ і, таким чином, на підставі результату прикладу 1 маємо

(тут P₁(t), P₂(t) – функції надійності першого і другого елементів відповідно). Функцію надійності системи P(t) знайдемо таким чином:

P(t) = 1 -F_T (t) = 1– P { T < t }=1– P { T ₁ +T ₂< t }.

Оскільки щільності ймовірностей незалежних випадкових величин T ₁ і T ₂ відомі, то щільність ймовірності їх суми T=T ₁+ T ₂ можна знайти за формулою (12) розділу 2.2. При цьому потрібно замінити границі інтегрування:

–∞ на 0 внаслідок додатності T ₁, а +∞ на z внаслідок додатності T ₂:

.

Тепер знайдемо ймовірність P { T ₁ +T ₂< t }:

P { T ₁ +T ₂< t } =P { T < t } =

= =

= 1– .

І, нарешті, P(t) = 1– (1– ) = .

Якщо l₁ = l₂ = l, то на підставі формули (13) розділу 2.2 p_T (t) = λ² t · e^{- λ t} ·1(t), і, таким чином,

P(t) =

.

При цьому MT = .