Асимптотичні формули для схеми Бернуллі

Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймовірностей.

1) Формула Пуассона

, (2)

де , справедлива для великих n та малих p (нечасті події).

Приклад 1. Ймовірність виходу мікросхеми із ладу протягом заданого проміжку часу дорівнює 0.003. Яка ймовірність того, що із 200 мікросхем: а) жодна не вийде з ладу; б) вийдуть з ладу не більше двох?

Розв’язок. Точний розв’язок прикладу одержуємо за формулою (1) при n=200 і p=0.003:

;

Наближений розв’язок знаходимо за формулою (2) при l = 0.6:

2) Формула Муавра-Лапласа

(3)

справедлива для великих n та np(1– p)>10. У таблиці 1 додатка наведені значення, а на малюнку 1.17 графік функції , яка називається функцією Лапласа або інтегралом помилок.

Приклад 2. Гральний кубик підкидається 1200 раз. Знайти ймовірність того, що кількість випадань одиниці знаходиться в діапазоні між 195 та 210 включно.

Розв’язок. Скористаємося формулою (3) при n=1200 і p=1/6, c=195, d=210. Оскільки np=200, , d– np =10, c– np = – 5, шукана ймовірність дорівнюватиме

Приклад 3. Скільки разів потрібно підкинути монету, щоб із ймовірністю не меншою за 0.95 частота появи герба відрізнялась від ймовірності p = 0.5 не більше ніж на 0.03.

Розв’язок.

За умовою задачі потрібно знайти n з нерівності . Оскільки = , то з формули (3) при np=n/2, d=n/2+0.03n, c=n/2– 0.03n виходить співвідношення

.

З таблиць знаходимо, що . Таким чином n³1067.

Формула (3) може бути використана і для оцінки невідомої ймовірності події, якщо відомо скільки разів ця подія з¢явилась в серії з n випробувань. Нехай ймовірність p появи події А в одному випробуванні невідома. Проводиться серія із n випробувань, у якій подія А з¢являється k разів. Потрібно знайти проміжок, який з заданою ймовірністю 1– e накриває невідоме експериментатору значення p. Із формули (3) виходить, що

.

У таблиці функції Лапласа знаходимо те значення d_e, для якого 2Ф(d_e)=1– e (наприклад, якщо 1– e=0.9, 0.95, 0.99, то відповідно d_e=1.6449, 1.96, 2.5758). Потім потрібно розв’язати відносно p нерівність .

Одержаний при цьому проміжок значень для p прийнято називати довірчим проміжком з рівнем надійності 1– e (докладніше про це говориться у розділі 5.3). Наприклад, при n=10000, k=500, 1– e=0.95 для ймовірності p маємо проміжок

p Î[0.046;0.055].