Расчет свободных (собственных) колебаний

По своему характеру колебания подразделяются на свободные и вынужденные.

Свободные (собственные) колебания совершает тело, выведенное из состояния равновесия. Они могут быть незатухающими и затухающими. Эти колебания обуславливаются наличием восстанавливающей силы (силы упругости).

Вынужденные колебания обуславливаются не только восстанавливающей силой, но и переменной внешней возмущающей силой, действующей на тело (например, наезд колеса на неровность).

Рис. 7.7. Схема колебательной системы с одной степенью свободы

Собственные колебания представляют собой гармонические перемещения (или их производные), описываемые в виде синусоиды.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний, определяемое силами инерций и упругости системы, имеет вид:

М (7.4)

Разделив выражение на М, получим

(7.5)

Обозначим , тогда

(7.6)

Если тело совершает гармонические колебания с частотой ω и амплитудой Z_мах

Z = Z_мах ·sinωt (7.7)

то скорость и ускорение могут быть найдены дифференцированием уравнения (7.7)

=Z_мах ·ω ·cosωt; _max = Z_мах ·ω;

=- Z_мах ·ω² ·sinωt; _max = Z_мах ·ω²; (7.8)

достигают наибольшей величины, когда масса находится в крайних положениях, а величины - в среднем положении.

Рис. 7.8. Схема колебательной системы при наличии демпфера

Свободные затухающие колебания связаны с закономерностью изменения сопротивления амортизатора. Сила сопротивления Р_а, создаваемая гидравлическим амортизатором, может изменяться по следующему закону

Р_а = k · , (7.9)

где k - коэффициент сопротивления амортизатора, кНсм;

- скорость перемещения массы.

В этом случае дифференциальное уравнение колебательного движения запишется в виде

, (7.10)

где 2 h = k /M; h - коэффициент затухания, с^-1.

Решение уравнения может иметь вид

Z = Z_мах ℓ ^-ht sin

Показатель степени (- ht) в уравнении указывает, что колебания будут затухающими. Наличие сопротивления в колебательной системе уменьшает частоту свободных колебаний.