Дифференциальное уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)

Как показано выше, основной задачей гидродинамики является изучение движения жидкости, характеризующегося скоростями частиц и давлением. Для решения этой задачи необходимо составить уравнения, связывающие между собой ускорения с силами, действующими на движущиеся частицы жидкости

Рассмотрим движущуюся невязкую жидкость, у которой плотность . Выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами dx, dу, dz, параллельными осям координат (рисунок 2.4).

Составим уравнение движения вдоль оси х. Обозначим давление, приложенное в центре тяжести грани АВСD. Тогда сила давления на эту грань равна В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления на грани ЕGFN давление будет равно сила давления на эту грань составит

На параллелепипед действует массовая сила, проекция которой, а ось х равна

Рисунок 2.4 Схема для вывода уравнения Эйлера равновесия движущейся жидкости

В случае движения жидкости алгебраическая сумма проекций действующих сил должна равняться проекции сил инерции, равной произведению массы частицы на проекцию ускорения её движения

С учётом этого получим

После сокращений и делений на получим

.

Аналогично получим подобные уравнения и для осей у и z. Тогда

(2.6)

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями движения жидкости (уравнениями Эйлера). В уравнениях (2.6) четыре неизвестных величины: , , , . Для решения этой системы уравнений необходимо еще одно уравнение. Таким уравнением является уравнение неразрывности.