Вывод уравнения Бернулли из закона живых сил

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости, выделенную в потоке, находящемся в состоянии установившего­ся движения (рисунок 2.5)

Двумя нормальными сечениями 1 и 1¢выделим элементар­ный объем

где — площадь живого сечения элементарной струйки; — расстояние между сечениями 1 и 1¢.

Через промежуток времени объёмом переместится и займет положение между сечениями 2 — 2'. На рассматриваемый объём жидкости действуют сила тяжести и силы гидродинамического давления. Силы трения в идеальной жидкости отсутствуют. Обозначим гидродинамическое давление в сечениях 1, 2 соответственно через Р₁ и Р₂, а высоту центра тяжести сечений 1, 2над условной горизонтальной плоскостью сравнения — через Z₁и Z₂.

Рисунок 2.5

Применим к объему dW закон живых сил, согласно которому приращение живой силы движущейся системы материальных частиц за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех сил, действовавших на систему в течение того же времени.

Закон этот символически может быть записан так:

(2.16)

Здесь - живая сила движущейся системы;

— сумма работ всех сил Р на пути s.

Приращение живой силы. Масса нашего элементарного объема