Кинематический анализ пространственных рычажных механизмов с открытыми кинематическими цепями

Рассматриваемый метод кинематического анализа очень удобен для определения кинематических характеристик движения звеньев пространственных рычажных механизмов, в том числе – с незамкнутыми кинематическими цепями. На рис. 2.26 показана структурная схема манипулятора с расположенными в шарнирах А, В и С координатными системами.

Рис. 2.26. Схема пространственной кинематической цепи манипулятора

С неподвижным основанием 0 связана система координат X ₀ Y ₀ Z ₀ (ось X ₀ направлена вдоль оси кинематической пары А), со звеном 1 – система координат X ₁ Y ₁ Z ₁(ось Х ₁ направлена вдоль оси кинематической пары А), со звеном 2 – система координат X ₂ Y ₂ Z ₂ (ось Х ₂ направлена вдоль звена 2), со звеном 3 – система координат X ₃ Y ₃ Z ₃ (ось Х ₃ направлена вдоль звена 3). Точка Р расположена на звене 3 в схвате манипулятора. Целью кинематического анализа данного механизма является определение функции положения точки Р схвата манипулятора в зависимости от углов поворота в кинематических парах А, В и С, скоростей и ускорений изменения координат точки схвата.

Уравнение преобразования координат точки Р будет иметь следующий вид:

X _{0 ( P)} = V ₁₀ L ₂₁ + V ₂₁ L ₃₂ + V ₃₂× X _{3 ( P)} , (2.32)

где X _{3 ( P)} = -матрица-столбец координат точки Р в системе X ₃ Y ₃ Z ₃;

X _{0 ( P)} = -матрица-столбец координат точки P в системе X ₀ Y ₀ Z ₀.

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных переносов вдоль звеньев при переходе от одной системы координат к другой будут определяться следующим образом:

V ₃₂ = ; L ₃₂ = ;

V ₂₁ = ; L ₂₁ = ;

V ₁₀ = .

Произведя преобразования согласно (2.32), получим систему уравнений, определяющих координаты точки Р:

x_P = l_BC cos + l_CP cos (),

y_P = l_BC sin cos + l_CP sin () cos , (2.33)

z_P = l_BC sin sin + l_CP sin () sin .

Продифференцировав выражения (2.33) по времени, получим значения скоростей и ускорений изменения координат точки Р.