Механизмах

Пусть даны системы плоских прямоугольных координат X ₀ Y ₀ и X ₁ Y ₁ (рис.1). Положение начала системы координат X ₁ Y ₁ определяется в системе координат X ₀ Y ₀ величинами a и b. Относительный поворот координатных осей – направляющими косинусами m_kl (k, l = 1,2).

Рис. 2.13. Схема расположения систем координат

Как известно, преобразование координат какой-либо точки из системы X ₁ Y ₁ в систему X ₀ Y ₀ в общем случае относительного движения систем координат в плоскости определяется уравнениями вида:

x ₀ = a + x ₁ m ₁₁ + y ₁ m ₁₂ ,(1)

y ₀ = b + x ₁ m ₂₁ + y ₁ m ₂₂ , (2.15)

где x ₁, y ₁ - координаты точки в системе X ₁ Y ₁;

x ₀, y ₀ - координаты точки в системе X ₀ Y ₀;

a, b - координаты точки O ₁ в системе X ₀ Y ₀;

m ₁₁ = cos (X ₀ ^X ₁); m ₁₂ = cos (X ₀ ^Y ₁); m ₂₁ = cos (Y ₀ ^X ₁);

m ₂₂ = cos (Y ₀ ^Y ₁) - направляющие косинусы.

Система уравнений (2.15) может быть записана в эквивалентной матричной форме:

= + × ,

где = X ₀ - матрица-столбец координат точки в системе X ₀ Y ₀;

= X ₁ - матрица-столбец координат точки в системе X ₁ Y ₁;

= L ₁₀ - матрица-столбец параллельного переноса начала координат системы X ₁ Y ₁ в начало координат системы X ₀ Y ₀;

= V ₁₀ – квадратная матрица поворота системы координат X ₁ Y ₁ относительно системы X ₀ Y ₀.

Получим X ₀ = L ₁₀ + V ₁₀ X _1.

В общем виде X _{i - 1} = L_{i, i - 1} + V_{i, i - 1} X _i (2.16)

Последовательные преобразования ряда систем координат производятся следующим образом. Пусть, например, необходимо произвести преобразования координат точки А из системы X ₃ Y ₃ в систему X ₂ Y ₂ , затем в систему X ₁ Y ₁и далее в систему X ₀ Y ₀ (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Схема расположения точки в координатных системах

Согласно выражению (2.16) составляем уравнение преобразования системы X ₃ Y ₃ в систему X ₂ Y ₂:

X ₂ = L ₃₂ + V ₃₂ × X ₃ ;

системы X ₂ Y ₂ в систему X ₁ Y ₁ :

X ₁ = L ₂₁ + V ₂₁× X ₂ ;

системы X ₁ Y ₁ в систему X ₀ Y ₀ :

X ₀ = L ₁₀ + V ₁₀× X ₁ .

Объединив эти выражения, получим

X ₀ = L ₁₀ + V ₁₀ L ₂₁ + V ₂₁ L ₃₂ + V ₃₂ × X ₃ .

В общем виде

X ₀ = L ₁₀ + V ₁₀ … L_{n - 1, n- 2} + V_{n- 1, n- 2} L_{n ,n- 1} + V_{n,n- 1}× X_n . (2.17)

Полученные результаты распространяются на замкнутые и незамкнутые кинематические цепи. Замкнутые кинематические цепи могут быть одно- и многоконтурными. Какова бы ни была одноконтурная кинематическая цепь, с каждым ее звеном связывается система координат X_iY_i (i = 1, 2, 3, …, n, где n – число звеньев).

Если произвести последовательные преобразования систем координат вдоль замкнутого контура звеньев, начиная с некоторого звена или, иначе говоря, с некоторой системы координат, и вернуться к исходному звену (к исходной системе координат), то такое преобразование будет являться тождественным. Уравнение (2.17) является уравнением замкнутости контура кинематической цепи.

В кинематических цепях плоских механизмов наибольшее распространение получили кинематические пары 5 класса: поступательные и вращательные. Рассмотрим преобразование систем координат в этих кинематических парах.

На рис. 3 представлено схематическое изображение поступательной кинематической пары, образованной звеньями i- 1 и i, с которыми связаны плоские системы координат X_{i- 1} Y_{i- 1} и X_iY_i. Соответствующие координатные оси параллельны.

Рис. 2.15. Поступательная кинематическая пара

Уравнение преобразования координат из системы X_iY_i в систему X_{i- 1} Y_{i- 1} будет аналогично выражению (2). Матрицы V_{i,i- 1} и L_{i,i- 1} будут иметь следующий вид:

V_{i,i- 1} = =

= = ;

L_{i,i- 1} = .

Получаем уравнение преобразования в матричной форме:

= + = .

На рис. 2.16 представлено схематическое изображение вращательной кинематической пары, составленной звеньями i- 1 и i. Со звеньями связаны системы координат X_{i- 1} Y_{i- 1} и X_iY_i. Оси X_{i- 1} и X_i направлены вдоль соответствующих звеньев. Начало координат О_i системы X_iY_i расположено в центре кинематической пары.

Рис. 2.16. Вращательная кинематическая пара

Угол - угол поворота в кинематической паре. Уравнение преобразования координат во вращательной паре также соответствует выражению (2.16). Матрицы V_{i,i- 1} и L_{i,i- 1}будут иметь следующий вид:

V_{i,i- 1} = = ;

L_{i,i- 1} = .

Получаем уравнение преобразования в матричной форме:

= + =

При рассмотрении вращательной пары удобно начала координат О_{i -1} и О_i совмещать с центром пары (рис. 5). Тогда матрица V_{i- 1} будет иметь прежний вид, а матрица L_{i,i- 1} будет равна0.

L_{i,i- 1} = .

Рис. 2.17. Вращательная кинематическая пара

(оси координат расположены в центре пары)

Уравнение преобразования в матричной форме будет определяться следующим образом:

= × = .