V. Квадратичная функция

Функция вида называется квадратичной функцией, где а, в, с – const, , х – переменная.

Рассмотрим частные случаи квадратичной функции.

1. Функция

1. .

2. .

3. Функция имеет один нуль: при .

4. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ОУ.

5. Если , то при функция монотонно убывает; при функция монотонно возрастает.

Если , то при функция монотонно возрастает; при функция монотонно убывает.

6. Функция имеет минимум при ; функция имеет максимум при в точке x=0.

7. Функция ограничена снизу, , при ;ограничена сверху, , при .

8. Функция периода не имеет.

9. График функции – парабола

2. Функция ,

Квадратичную функцию можно записать в виде: .

Преобразуем квадратный трехчлен:

где ;

Получаем:

, , - вершина параболы.

Свойства функции .

1. .

2. Если , то .

Если , то .

3. ; если , то функций нулей не имеет;

если , то функций имеет нуль при ;

если , то функций имеет два нуля:

.

4. Если , то функция ни четная, ни нечетная;

при функция четная.

5. При функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

При функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

6. При функция имеет наименьшее значение при ; которое есть минимум функции, . Наибольшего значения нет.

При функция имеет наибольшее значение при , которое есть максимум функции, . Наименьшего значения функция не имеет.

7. При a>0 функция ограничена снизу,

При a<0 функция ограничена сверху,

8. функция периода не имеет

9.График квадратичной функции есть парабола, а точка - вершина параболы.

Построение графиков – схем некоторых функций.

Иногда необходимо построить не точный график, а график – схему, это значит, нужно определить форму графика, найти экстремумы и точки пересечения с осями координат и координатной плоскости.

I. График – схема функции - гипербола.

1. Найдем вертикальную и горизонтальную асимптоты. Для этого определим область определения и область значения функции:

- вертикальная асимптота

- горизонтальная асимптота.

(Найдем обратную функцию

Из формулы видно, что ).

II. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

с ОХ: для этого решим уравнения:

- точка пересечения с осью ОХ.

с ОУ: для этого подставим в формулу функции значения х=0.

- точка пересечения с осью ОУ

По асимптотам ; и точкам (;

Строим график – схему – гиперболу.

II. График – схема функции , парабола.

1. Найдем форму параболы. Для этого определим знак коэффициента а.

Если ветви параболы направлены вверх.

Если ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы по формуле: , где .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

с ОХ: для этого решим квадратное уравнение.

Имеем три варианта:

Если , график пересекает ось ОХ в двух точках .

Если , то график пересекает ось ОХ в одной точке (она вершина параболы) .

Если , то график не пересекает ось ОХ (либо весь находится в I, II квадратах, либо – в III, IV).

с ОУ: для этого подставим в формулу функции значение

.

(о;с) – точка пересечения параболы с осью ОУ.

По форме, вершине и точкам пересечения с осями координат строим график – схему – параболу.

Например 2. Построить график – схему функции

График функции – парабола.

1. значит ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем вершину параболы.

Тогда

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

с ОХ: .

Имеем (3;0) и (-2;0) – точки пересечения параболы с осью ОХ.

с ОУ: .

Имеем (0;-6) – точка пересечения параболы с осью ОУ.

Построим схему параболы.

VI. Функция .

Функция вида , где и , называется показательной функцией.

Свойства функции .

1. .

2. .

3. , . Одна точка пересечения с осью ОУ: (0;1).

4. Функция общего вида, так как и .

5. Если , функция возрастает на всей области определения.

При , функция убывает на всей области определения.

6. Экстремума нет.

7. Функция не ограничена.

8. функция периода не имеет.

9. График функции:

y=ax, a>1

y=ax

0<a<1

х

у

VII. Функция

(читают: «Функция игрек равен логарифму числа х по основанию а).

Функция вида , где , - это функция, обратная к показательной функции .

Свойства функции

1. .

2. .

3. , . Одна точка пересечения с осью ОХ (1;0).

4. Функция общего вида.

5. Если , функция возрастает на промежутке .

При , функция убывает на промежутке .

6. Экстремума нет.

7. Функция не ограничена.

8. Функция периода не имеет.

9. График функции:

y = logax, 0<a<1

y = logax, a>1

0

x

y