Условия разложения функции в ряд Тейлора

Вид коэффициентов ряда Тейлора указывает на то, что ставить задачу о разложении в ряд Тейлора можно лишь по отношению к бесконечно дифференцируемой в точке х₀ функции; но это есть только необходимое условие разложения в ряд Тейлора: далеко не всякая бесконечно дифференцируемая функция может быть представлена своим рядом Тейлора.

Может оказаться, что составленный по ряд Тейлора: 1) хотя и сходится в некотором интервале. Но его сумма не совпадает с , кроме как в т. х=х₀; или 2) он даже вообще может оказаться расходящимся для х¹х₀.

Другими словами, остается пока открытым вопрос: 1) сходится ил ряд где-нибудь, кроме точки х=х₀?; 2) возникает также и второй вопрос: если ряд сходится в некотором интервале, то какая функция является суммой этого ряда?

Та функция , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда, или какая-либо другая функция? (см. Увар., стр. 77; Бермант, стр. 591). Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀.

Найдем значения функции и ее производных в т. х₀ в составим для ряд Тейлора.

Выясним, при каких условиях можно утверждать, что составленный ряд сходится к

Т. к. поведение ряда (сходимость или расходимость) зависит от коэффициентов ряда, а коэффициенты определяются функцией , то, очевидно, вопрос о сходимости ряда Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функции Т. к. функция имеет в окрестности т. х₀ производные любых порядков, то для всех значений х из этого интервала и для любого n имеет место формула Тейлора (выводится в дифференциальном исчислении).

(6.2.10)

где – остаточный член этой формулы.

С помощью этой формулы можно дать ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема 6.2.18. (необходимое и достаточное условие). Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к ней, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора для стремился к нулю при

Теорема 6.2.19.(достаточный признак). Если в некотором интервале, содержащем т. х₀, модули всехпроизводных функции ограничены одним и тем же числом: , то функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.