Примеры построение эпюр поперечных и продольных сил, изгибающих моментов

Порядок построения эпюр рассмотрим на примерах. Для

составления выражений для поперечной силы и изгибающего момента применим метод сечений. Балку рассекаем в произвольном сечении каждого участка z либо в характерных сечениях. Для построения эпюр Q и М следует определять значения Q и М в характерных сечениях балки.

Пример 2.1. Построить эпюры Q и М _х для консольной балки,

показанной на рис. 2.1.

Решение. В защемлении А возникают опорная реакция R _A и опорный момент M _A.

Из уравнения равновесия определяем значения R _A и M _A

∑ Fy = 0 – R_A + q 4 – F = 0; R_A = 20 4 – 20 = 60 кН.

∑ М_A = 0 – M_A – M – q∙ 4 2 + F 4 = 0;

M_A = –8 –20 4 2 +20 4 = – 88 кН м.

Знак «–» означает, что опорный момент M _A имеет противоположное направление.

Для проверки правильности значений R _A и M _A составим уравнение моментов относительно произвольной точки консоли В или С.

∑ М_С = 0; – М_А – R_A 4 – M + q 4 2 = 0;

–(–88) –60∙4 – 8 + 20∙4∙2 = 0; 0 ≡ 0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Рис.2.1

В соответствии с характером загружения балки разобьем балку на два участка. Рассечём балку в произвольных сечениях на каждом участке и рассмотрим равновесие на участке АВ равновесие левой части балки, а на участке ВС равновесие правой части.

Выражения поперечных сил и изгибающих моментов будут иметь следующий вид.

Участок АВ 0 z 1,5 м.

Q = R _A – q z=60 –20 z; М_Х=R _A z+М_А–q z z/2=60 z -88–20 z²/2.

Эпюра Q изменяется по линейной зависимости, поэтому для по строения эпюры Q достаточно вычислить значения Q в начале и

конце участка. Эпюра М_Х изменяется по нелинейной зависимости,

поэтому для построения эпюры М_Х необходимо вычислить значения

изгибающих моментов в трех сечениях.

Вычислим значения Q и М _Х.

при z =0 Q_А = 60 кН; М_А = –88 кНм;

при z =1,5 м Q_В = 30 кН; M _B =–20,5 кНм;

при z =0,75 м М_Х = –48,61кНм.

Участок СВ (справа) 0 z 2,5 м.

Q_С = q z – F = 20 z –20; М_Х = – q z z/2 + F z =–20 z²/2+ 20 z.

Вычислим значения Q и М _Х;

при z =0 Q_с = –20 кН; М_Cc =0; при z =2,5 м Q_В = 30 кН; M _B =–12,5 кНм;

На участке имеется сечение, где Q =0. Изгибающий момент в этом сечении достигает экстремального сечения.

Определим положение сечения на этом участке, в котором поперечная сила Q равна нулю.

Q = q z₀ – F = 20 z₀ – 20 = 0, Откуда, находим z₀ = 1 м.

Экстремальное значение М_х на участке ВС равно:

М_х ^max = F ∙ z₀ – q∙ z₀∙ z₀ /2 = 20 1 – 20 1 0,5 = 10 кН∙м

Все найденные ординаты Q и М _Х откладываем в удобном масштабе. Эпюры Q и М_х показаны на рис.2.1.

Опасным сечением будет сечение А, где М_х = –88 кНм, Q =60 кН.

Пример 2.2. Построим эпюры Q и М _х для консольной балки, показанной на рис.2.2

Рис.5

Рис.2.2

Применим способ вычисления Q _y и M _x в характерных сечениях. Характерными сечениями для участка, где отсутствует распределённая нагрузка (q =0) являются начало и конец участка.

На участке, где действует распределённая нагрузка (q=const), изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы и характерными сечениями являются три сечения.

Если на этом участке имеется сечение, где Q =0, определяется положение этого сечения и значение экстремального М_х в этом сечении. Если на этом участке нет такого сечения, как правило, определяется значение М_х в середине участка.

Для консольной балки можно построить эпюры Q и М_х без определения опорной реакции R _c и опорного момента М _с.

Вычислим Q и М_х в характерных сечениях, начиная со свободного конца, т.е. с сечения А.

Участок АВ Сечение А: Q_А = 0; М_х = М = 10 кН∙м

Сечение В: Q_В ^лев = 0; М_В = М = 10 кН∙м.

Участок ВС Сечение В: Q_В ^пр = – F = –20 кН∙м: М _В = М = 10 кН∙м

Сечение С: Q _С = – F – q 2 = –20 –15 2 = –50 кН

М _С = М – F 2 – q ∙2 1 = 10 – 40 – 30 = –60 кН∙м

Эпюры Q и М _х представлены на рис.2.2. На участке АВ отсутствует распределенная нагрузка, Q =0, М _х = 10 кН∙м = const.

Опасным сечением будет сечение С, где М _х = –60 кН∙м, Q =–50 кН.

По эпюрам Q и М _х можно определить значения опорной реакции и опорного момента в сечении С. R _C = 50 кН, M _C = –60 кН∙м.

Пример 2.3. Построим эпюры Q_y и М_х для шарнирно опёртой балки, показанной на рис.2.3.

Рис.2.3

Из уравнений равновесия найдем опорные реакции R _А и R _В..

∑ M _B =– R_А 6+ q 4(2+2)+ F 2– M =0; R_А 6+15–4 4+15 2–30=0;

R_А =240/6=40кH.

∑ M _А= R _В 6– M – F 4– q 4 2=0; R _В 6–30–15 4–15 4 2=0;

R_В =210/6=35кH.

Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось у.

∑ F _y ==0; – R _А+ q 4+ F – R _В=0;

–40+15 4+15–35=0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Вычислим Q и М_х в характерных сечения.