Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости

При плоском прямом изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q иизгибающий момент M, которые определяются методом сечений.

Поперечная сила равняется сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть отсечённую часть балки по ходу часовой стрелки (рис.1.1).

Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения.

Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон (рис.1.2).

Для поперечной силы Q внешние силовые факторы, направленные по ходу вращения часовой стрелки берутся в уравнении со знаком плюс, против–со знаком минус.

Для изгибающего момента М _х внешние силовые факторы, вызывающие растяжение нижних волокон берутся в уравнении со знаком плюс, вызывающие растяжение верхних волокон,– со знаком минус.

Необходимо повторить правило определения момента силы. Момент силы относительно какой либо точки равен произведению силы на плечо. Плечо есть перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы.

Сложнее с распределённой нагрузкой интенсивностью q. На практике распределённая нагрузка, расположенная по одну сторону от сечения, заменяется результирующей сосредоточенной силой, приложенной в центре тяжести распределённой нагрузки. Момент от распределённой нагрузки определяется как произведение этой результирующей силы на её плечо.

Рассмотрим призматический стержень (рис.1.3). Свяжем с ним правую систему координат. Ось z направим вдоль оси стержня, а ось у направим вниз.

Рис. 1.3

Условимся положительное направление оси О_у выбирать сверху вниз. На эпюре Q_у положительные ординаты будем откладывать вниз, отрицательные вверх, а ординаты эпюры М_х откладывать со стороны растянутых волокон. Положительные значения М_х откладываются вниз, так как эти моменты вызывают растяжение нижних волокон. Выпуклость кривой эпюры М_х в этом случае обращена в сторону положительных значений на оси у и кривая имеет отрицательную кривизну.

Разумеется, можно было бы принять другие правила знаков для внутренних усилий. Например, традиционно положительные ординаты эпюры Q_у откладывали вверх, а ординаты эпюры М – также со стороны растянутых волокон.

При определении внутренних усилий балка рассекается на произвольном расстоянии z от левого конца плоскостью, перпендикулярной к её оси. Составляя уравнения равновесия и моментов для левой или правой её частей получим выражения для определения Q_у и М_х.

Поперечная сила равна сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Если внешняя сила стремится повернуть балку по ходу часовой стрелки, то соответствующее слагаемое берется с положительным знаком.

Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения. Если силовые факторы, вызывают растяжение нижних волокон, то соответствующее слагаемое берется с положительным знаком.

В общем случае внутренние усилия можно записать следующим образом.

Для части балки, находящейся слева от рассматриваемого сечения получим:

Q_у = – . М_х = – .

Для части балки, находящейся справа от рассматриваемого сечения получим:

Q_у = . М_х = .

Рассмотрим равновесие отсеченных частей балки.

Составим уравнение равновесия для части балки (рис. 3), находящейся слева от рассматриваемого сечения mn, получим выражение для определения поперечной силы

Q_y = R_А – F ₁.

Из уравнения моментов относительно центра тяжести сечения для левой части балки получим

M_х = R _А z – F₁ (z–а)+ M. b z c

Рассматривая равновесие правой части балки (рис. 3) можно получить выражения

Q_y =– R_B + F ₂. + q d

M_х = R _B (l–z)– F₂ (l – z–d)+ M. + q d (l – z–d/2). b z c

Между изгибающим моментом, поперечной силой и распределенной нагрузкой имеются следующие зависимости:

Формулы можно использовать при построении и проверке эпюр в балках.