Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Займемся теперь изучением поверхностей. Их уравнения после преобразований могут быть приведены к виду , Мы будем предполагать, что есть многочлен относительно Степень этого многочлена относительно определяет порядок алгебраической поверхности. Можно показать, что он не зависит от выбора координатных осей. Ранее мы убедились в том, что поверхностями 1-го порядка являются плоскости. Займемся исследованием поверхностей 2-го порядка.
Начнем с цилиндрической поверхности. Цилиндрической называется поверхность, образованная прямыми, называемыми образующими, параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию , которая называется направляющей. Пусть направляющая цилиндрической поверхности определяется уравнениями
(5.31)
а образующие уравнениями
(5.32)
где есть точка, принадлежащая направляющей, а - текущие координаты поверхности. Исключая из четырех уравнений (5.31) и (5.32), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.
Пример 5.13. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны прямой , а направляющей служит прямая
. Рассмотрим канонические уравнения образующих:
Обозначим через величину каждого из этих отношений, тогда , . Подставляя эти значения в данные уравнения направляющей, получим: . Исключив , найдем: Это есть уравнение плоскости, проходящей через данную направляющую и параллельной прямой .
Конической называется поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).
Пусть направляющая конуса задается уравнениями
, (5.33)
а вершина конуса имеет координаты Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку и через точку направляющей, будут:
Исключая из уравнений (5.33) и (5.34), получим искомое уравнение конической поверхности.
Пример 5.14. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей
Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0;0;0) конуса и точку направляющей, будут:
Исключим из четырех данных уравнений. Заменяя на c, определим из последних двух уравнений:
Подставляя эти значения в первое уравнение направляющей, будем иметь:
Если в рассмотренном примере , то направляющей будет окружность, и мы получим круговой конус.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 3575 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!