Определение устойчивости

Устойчивость – это важнейшеесвойство системы автоматического управления. Если система не является устойчивой, то она неработоспособна.

Пусть система находится в состоянии равновесия и, начиная с некоторого момента времени, на нее начинают действовать ограниченные воздействия – возмущения. Если система под действием таких возмущений имеет способность мало отклоняться от состояния равновесия, то она устойчива. В противном случае достаточно действия небольшого возмущения чтобы она далеко отклонилась от состояния равновесия.

Возмущения могут быть непрерывными на заданном интервале времени или импульсными, действующие на систему, в какие – то моменты времени.

Доказывается, что, если система устойчива при действии на неё начального мгновенного возмущения, то она будет устойчивой и при действии других видов ограниченных возмущений. Математически начальное мгновенное возмущение описывается дельта – функцией d(t). Таким образом, судить об устойчивости системы можно по виду ее импульсной переходной характеристики (1.12)

Действие идеального импульса на линейную систему может привести к мгновенному изменению начальных условий (выводу её из состояния равновесия). Если в дальнейшем, будучи предоставлена самой себе, система сможет вернуться в состояние равновесия, то она устойчива.

Итак, если пределы при функции g (t) и её производных до (n - 1) – го порядка равны нулю, то система устойчива асимптотически.

Поскольку для положительных моментов времени (t > 0) дельта – функция d(t) и её производные равны нулю, то в общем случае импульсно – переходная характеристика g = g (t) определяется как решение однородного дифференциального уравнения (1.1)

и представляется суммой экспонент

g (t) = .

Характер функции g (t) исключительно зависит от показателей степени экспонент s_i, т. е. от корней характеристического уравнения системы (1.8)

где A (s) = B (s) + C (s) – характеристический полином системы в замкнутом состоянии – знаменатель передаточной функции (3.7).