Квадратичные формы. Матрицы замены

Определение 18.1. Квадратичной формой от букв (переменных) называются F ()= = , (1), где R. Когда в (1) присутствуют слагаемые , тогда их сумму можно записать в виде , причем, очевидно, . Таким образом, в дальнейшем будем считать, что .

Свойство 18.2. Если отождествить действительное число и матрицу , тогда F () = (2), где , , где - коэффициенты квадратичной формы, матрица А симметрична. Матрица А симметрична по замечанию 18.1. .

Пример 18.3. Квадратичная форма имеет матрицу A = .

Квадратычная форма имеет матрицу A = .

Определение 18.4. Пусть переменные лин. выражены ч/з переменные . (3)

Если в F ( ) поставить значения у, то очевидно получается квадратичная форма F₁(). Говорят, что F₁ получается из F с помощью замены . Матрица Т наз. матрицей замены.

Свойство 19.6. Пусть дана F₁() с матрицей А. Дана замена , в результате которой получается F₁() с матрицей В, тогда . Доказательство: имеем . . симметрична. Докажем это: Возьмем , ■