Линейные алгебры

Азн 16.16. Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элементы из Р) и при этом выполняются следующие условия: 1) А относительно сложения и умножения элементов из А является кольцом; 2) А относительно сложения элементов из А и умножения на скаляр является линейным пространством; 3) Умножение элементов из А и умножение на скаляр удовлетворяют следующему условию:
P A .

Прыклад 16.17. 1) С над R. 2) Mat(n´n:P). 3) P[x].

Св-во.16.18. Если V – линейное пространство над Р, то End(V) – лінейная алгебра над Р. Доказательство. То, что выполняется пункт 1 из определения 16.16 доказано в 16.10, пункт 2 из определения 16.16 выполняется по 16.15. Осталось доказать, что выполняется условие 3. P ÎEnd(V) Î V

Из равенства правых частей следует равенство, которую надо доказать.■

Инвариантные подпространства. Собственные векторы. Простейшие свойства

Азн.16.1. f ÎEnd(V). Подпространство U пространства V называется инвариантной относительно f (или f - инвариантной), когда Î U Î U (1)

Прыклад 16.2.1. V =V₂, pr_x – проекция на ось Ox. U ₁=R R} - инвариантная относительно pr_x подпространство, так как R, U ₁. U ₂=R R} - также инвариантные относительно pr_x подпространство, так как R, R U ₂. R U ₂.

16.2.2. V = V₃, f – поворот вокруг оси Oz на угол . f - инвариантными являются U _z і U _xoy - просторо векторов плоскости xOy.

16.2.3. Для оператора D деференцирования пространства P[x] для произвольного натурального n пространства

P _n[x] является D-инвариантными.

16.2.4. Для произвольного f ÎEnd(V) подпространства і V являются f - инвариантными. Они называются тривиальными.

Св-во 16.3 Когда f ÎEnd(V), U ₁ и U ₂ f - инвариантные подпространства, тогда U ₁ U ₂ также f- инвариантное подпространство. Доказ. Рассмотрим U ₁ U _{2 .} То U ₁ откуда следует, что Î U ₁. Аналогично, Î U ₂, ■

Азн. 16.4. Ненулевой вектор Î V называется собственным вектором оператора f ÎEnd(V), когда существует ÎP такой, что f . При этом говорят, что - собственная значимость линейного оператора f, которое соответствует вектору .

Прыклад 16.5. У линейного оператора pr_x линейного пространства V₂ вектор является собственным из собственной значимостью 1, поскольку . Т.к. , вектор - собственный, которому соответствует собственная значимость 0.

Св-во 16.6. Когда - собственный вектор линейного оператора f ÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость ÎP, тогда для произвольного ÎP\{0} вектор также является собственным вектором оператора f, которому также соответствует собственная значимость . Доказ. По условию . Тогда очевидно, что і .■

Вынік 16.7 Когда - собственный вектор линейного оператора f ÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость , тогда подпространство P ={ ÎP} является f-инвариантной и каждый ненулевой вектор этого пространства является собственным вектором этого пространства является собственным вектором f, которому соответствует собственная значимость . Доказ. Следует из 17.6 и того, что f .■

Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, f ÎEnd(V) і А = – матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномам f называется полином

(4).