Самосопряженные операторы, их свойства, матрицы, собственные векторы, примеры

Опр. 17.1. ε – Евклидово пространство. Оператор f ÎEnd(ε) наз. Самосопряженным, если Î ε .

Пример17.2. 1. Очевидно, что тождественный оператор является самосопряженным. 2. В V2 рассмотрим оператор Pr x проектирования на ось Ox. Очевидно, что . Тогда , і . Таким образом, доказали, что Pr_x - самосопряженный оператор.

Св-во17.3. Когда f - самосопряженный оператор пространства ε, U Ì ε -является f-инвариантным подпространством, тогда ортогональное дополнение к U U ε Î U является f-инвариантным подпространством. Доказательство. Сначала докажем, что U - подпространство в ε. U , R, U , значит, U . По критерию подпространства следует, что U - подпространство в ε. Т.к. U, . Из самосопряженности оператора f следует, что , значит Î U і U является f-инвариантным подпространством.n

Св-во 17.4. Если линейный оператор f – самосопряженный оператор пространства ε, А – его матрица в ортонормированном базисе, тогда А=А^Т (1). Матрицы, которые удовлетворяют равенству (1) называются симметричными. Доказательство. Фиксируем произвольный ортонормированный базис в ε. Пусть в этом базисе f мои матрицу А, произвольные векторы и имеют столбцы координат X и Y. Тогда векторы и имеют столбцы координат AX и AY. По свойству 14.7 =(AX)^T Y = X ^T A ^T Y, і = X ^T AY. С самосопряженности f следует, что X ^T A ^T Y = X ^T AY. Так как X и Y - произвольные столбцы, из последнего равенства по лемме 15.6 следует, что A ^T= A. n

Св-во17.5. Когда и - собственные векторы самосопряженного оператора f, которым соответствуют неровные реальные собственные значимости і , тогда векторы и взаимообратные.

Доказательство. Так как f – самосопряженный оператор, , , . По условию , значит, .n