Диагональные матрицы линейных операторов

Св-во 16.14. Пусть dimV=n. Линейный оператор f имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда это базис из собственных векторов. Доказательство: Пусть -базис из собственных векторов, -собственные значения, тогда . Обратно. Пустьв базисе оператор f имеет матрицу ■

Св-во 16.15. Собственные векторы линейного оператора, которые соотвествуют попарно неравным соотв. значениям, линейнонезависимы. Доказательство: ММИ по k – число векторов. , попарно различны, то она линейно независима. . Равенство (*) умножим на и прибавим к последнему равенству.

По посылке - лин. независимые. . Все коэффициенты в (*) равны нулю. Значит система векторов линейно независима. ■

Т. 16.16. Пусть и линейный операторf имеет n попарно неравных собственных значений, тогда существует базис, в котором оператор f имеет диаональную матрицу. Доказательство: Если -попарно неравные собственные значения f, то соотв. собственным векторам , которые по 16.15. линейно независимы. n линейно независимых векторов линейного пространства составляет базис из собственных векторов оператора f, тогда по 16.14. f в этом базисе диагональна. ■

Следствие 16.17. Пусть и имеет n попарно неравных собственных значений, тогда существует матрица - диагональная. Доказательство: Рассмотрим V, dimV=n. Фиксируем в нем произвольный базис . Тогда существует линейный оператор , который в этом базисе имеет операцию А. Собственное значение А и f совпадают, значит f имеет n попарно неравных собственных значений, тогда по 16.16. существует новый базис , в котором матрица В оператора f диагональна. Возьмем T – матрицу перехода от старого базиса к новому. диагональная. ■