Умножение линейного оператора на скаляр

Орп. 15.6. V – лин. пространство над P, f ÎEnd(V), P. Произведением скаляра на эндоморфизм f называется отображение : V V: .

Св-во 15.7 Î End(V). До-во. Î V P
значит, f ÎEnd(V). ■

Св-во 15.8. 1) P, f ÎEnd(V) ; 2) P, f ÎEnd(V) ;

3) P, f ₁, f ₂ÎEnd(V) ; 4) f ÎEnd(V) 1× f = f.

Доказ.1) V , значит, .

2) ,

откуда . 3) значит . 4) . ■

Св-во 15.9. End(V) является линейным пространством над P. Доказательство. Свойства 1)-4) определения 1.1 доказана в 15.4, а свойства 5)-8) этого определения рассматривались в 15.8. ■

Св-во 15.10. Калі эндамарфізм f ÎEnd(V) мае ў базісе (1) матрыцу А, тады эндамарфізм f мае ў базісе (1) матрыцу А. Доказ. Когда произвольный вектор и векторы f (), ( f)() имеют в базисе (1) столбцы координат соответственно Х, Y, , тогда по определению 16.6, значит, А – матрица ( f) в базисе (1).■

Т. 15.11. Если dim(V)=n, тогда лин. пространство End(V) і Mat(n´n;P) изоморфное. Доказ. Рассмотрим ту же биекцию F: Mat(n´n;P) End(V), что и в 15.5. То, что F сохраняет сложение, доказана в 15.5. То, что P, A ÎEnd(V) , следует из 16.8 и замечания о единственности матрицы оператора в базисе.■

Вывод. 15.12. Калі dim(V)=n, тады dim (End(V))=n². Доказ. Очевидно, что dim(Mat(n´n;P))=n², а так как изоморфные пространства имеют равные измеримости, тогда dim(End(V))= n².■