Характеристические многочлены и собственные числа

Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, f ÎEnd(V) і А = – матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномам f называется полином

(4).

Св-во 16.9 Характеристические многочлены сопряжены, матриы равны. Доказ. Пусть

■

Св-во 16.10. Определение 16.8. корректно, т.е. характеристический многочлен эндоморфизма не зависит от того, в каком базисе взята его матрица. Доказательство: Если f ÎEnd(V), в базисе (1) имеет матрицу А, в имеет матрицу В и Т – матрица перехода от базиса (1) к новому базису, то . по 16.9.: ■

Т. 16.11. Скаляр является собственным значением эндоморфизма f ÎEnd(V) . Доказательство: - собственное значение f. . Фиксируем какой-нибудь базис (1). В нем f имеет матрицу А, а имеет ненулевой столбец координат . . Рассмотрим систему . Она однородна и имеет ненулевое решение - . . Обратно: пусть . Фиксируем базис (1). Пусть А – матрица f в этом же базисе. Рвссмотрим систему . Она однородна. Ее определитель равен , значит система имеет не только нулевое решение. Пусть - ненулевое решение. Рассмотрим , который в базисе (1) имеет мтолбец координат , тогда , Равенство этих столбцов соотв. равенству столбцов координат и равенству векторов. значит - собственный вектор оператора f, которому соотвествует собственное значение . ■

Следствие 16.12: Пусть dimV=n. f ÎEnd(V) и в базисе (1) имеет матрицу А. Если - собственное значение f, то оно соответствует векторам , столбцы координат которых в базисе (1) являются ненулевым решением системы . Доказательство: доказано в 16.11. ■