![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ОПР.14.1. Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f: ε ε наз. ортогональным, если
Î ε
.
Опр.14.5. Матрица A ÎMat(n´n;R) наз. ортогональной, если . Прыклад14.6.
Лемма 14.7. Если A, B ÎMat(n´n;R) і X, Y ÎRn
тады
. Доказ.
. Т.к
,
- любые, рассиотрим
-столбец, у которого і -ы элемент равен 1, а все остальные 0. Так определим и
трудно заметить, что
. А это значит, что
, значит,
.■
Св-во14.8. Ортогональный оператор Евклидового пространствав ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу. До-во. Пусть ортанармированный базис ε n, f: ε n
ε n - ортогональный оператор и А- его матрица в этом базисе. Рассмотрим произвольные векторы
Î ε n, которые имеют столбцы координат
,
соответственно в данном базисе. Тогда векторы
і
имеют столбцы координат
і
соответственно. Из ортогональностиf по 14.7 следует, что
,
Из леммы 15.6 следует, что
.■
Св-во 14.10. Оператор f ортогонален тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Доказательство: Утверждение, что если f – ортогонально, следует, что А – ортогональна (по 14.8.). Обратно: пусть есть ортонормированный базис, А – ортогональная матрица, тогда есть оператор f. Пусть в этом базисе имеют столбцы координат Х и Y. Тогда
имеют столбцы координат АХ и AY. Тогда
■
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 464 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!