III. Пространство элементарных событий

Мы хотим построить математическую модель случайного явления. Для этого, прежде всего, нужно дать математическое описание опыта, для исходов которого мы собираемся вычислять вероятность.Предварительно рассмотрим несколько примеров.

Пример 6.Опыт заключается в том, что один раз выбрасывают игральную кость. В результате возникают различные случайные события, например, выпало 1очко, выпало 3 очка, выпало 6 очков, выпало четное число очков и т.д. Первые три события неразложимы на более простые события, их принято называть элементарными событиями. Последнее событие происходит в том случае, если выпало или 2, или 4, или 6 очков, т.е. оно не является элементарным. Обозначим через событие «выпало k очков». Тогда все элементарные события, которые могут наступить в нашем опыте, можно представить как множество. Любое составное событие можно интерпретировать как подмножество. Например, событие «выпало четное число очков» – это подмножество. С другой стороны, любое подмножество (в частности и, например, {выпало более 6 очков}) можно считать случайным событием, произошедшим в результате данного опыта. Таким образом, задав множество, мы описали данный опыт, построили его модель. Множество принято называть пространством элементарных событий.

Пример 7. Опыт заключается в том, что три раза подбрасывают монету и фиксируют сторону, на которую она упала: герб отмечают 1, а решку – 0. Результат любого опыта – это упорядоченная тройка, каждый элемент которой либо 0, либо 1. Перебирая все возможности построения таких троек, получим множество всех элементарных событий в этом опыте – конечное множество . Любое случайное событие можно отождествить с подмножеством множества . Например, событие А ={герб выпал на 1–м броске} это подмножество . И наоборот, любое подмножество можно описать, как некоторое случайное событие, наступившее в этом опыте. Например, – «в результате опыта решка появилась точно два раза».

Пример 8. Опыт заключается в выстреле по неограниченной плоской мишени. Наблюдаемый результат (элементарное событие) точка на мишени (на плоскости), т.е. элементарное событие – , а пространство элементарных событий – это множество всех точек плоскости, на которой введена декартова система координат. Любое подмножество является случайным событием, и любое событие можно представить как некоторое подмножество. Например, можно рассматривать как «попадание в десяточку».

Анализируя эти примеры, видим, что для описания опыта нужно ввести в рассмотрение все его мыслимые простейшие исходы – множество всех элементарных событий. Тогда любое событие – это некоторое подмножество данного множества.

Определение 1.2. Пространством элементарных событий называется произвольное множество , а любой его элемент называется элементарным событием.

Отметим, что для описания реального опыта пространство элементарных событий выбирают подходящим образом, причем, выбор зависит и от того, какие события нас интересуют в данной задаче.