Двоичная система счисления

Самая часто употребимая система счета – это счет двойками. За основу взято число два. Две единицы образуют уже второй разряд – разряд двоек, две двойки – это третий разряд – разряд четверок. Следующий разряд – это четверки и т.д.

Число в двоичной системе изображается только двумя цифрами – единицей и нулем. Единица второго разряда – это два. Единица третьего разряда – четыре, (т.к. 2*2 = 4). Единица четвертого разряда – восемь (2*2*2 = 8), пятого – 8*2 = 16 и т.д.

Примеры:

1. В двоичной системе число 101 – это не сто один как в десятеричной. В этом числе последняя цифра – разряд единиц – один. Ноль показывает, что второго разряда нет, т.е. двоек, нет. Первая в числе единица – это единица третьего разряда, т.е. четверка; следовательно, 101 – это 4 + 0 + 1 = 5.

2. А в числе 1110 по двоичной системе единиц ноль, т.е. их нет. Во втором разряде – одна двойка, в третьем – одна четверка, в четвертом – цифра 1 означает, что в этом случае ее надо принять за 8. Все число составит 8 + 4 + 2 + 0 = 14.

Вычисления в такой системе счисления самые простые, но требуют длинных записей, на что тратится много времени.

Упражнения:

1. Какое самое большое число можно записать тремя цифрами в десятеричной системе счисления, в двоичной системе счисления?

2. Сколько необходимо цифр для того, чтобы записать все двузначные цифры?

3. Постройте пятеричную систему счисления?

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте теорему о делении натуральных чисел с остатком, а теперь воспользуйтесь этим алгоритмом и разделите два любых натуральных числа.

2. Сформулируйте теорему о разложении натурального числа.

3. Что мы называем позиционной записью числа?

4. Какие еще системы счисления вы знаете?

Контрольные задачи:

1. Доказать, что свойство непрерывности действительных чисел равносильно следующему: каковы бы ни были непустые множества А Ì R, В Ì R, у которых для любых элементов а Î А, b Î B выполняются неравенства а £ b, существует такое число x, что для всех а Î А и b Î B имеет место соотношение а £ x £ b.

2. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:

а) 3,46;

б) 3,(7);

в) 3,2(6.)

3. Известно, что любое число можно изобразить точкой на числовой прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

4. Посчитайте, какова толщина листа бумаги.

5. Сделайте простую линейку для деления величин на целое число частей, в пределах 10.

6. Вычислите несколько знаков бесконечной десятичной дроби, изображающей число .

7. Доказать, что между любыми двумя различными действительными числами имеется рациональное число.

8. Доказать, что неравенство эквивалентно соотношениям .

9. Доказать, что для любых двух действительных чисел а и b справедливо неравенство .

10. Решить уравнение , используя числовую ось.

11. Обладают ли операции вычитания и деления свойствами коммутативности и ассоциативности?

12. Может ли сумма рационального и иррационального чисел числом рациональным?

13. Может ли сумма двух рациональных чисел быть рациональным числом?