Аксиоматика натуральных чисел

Наряду с геометрией арифметика является наиболее непосредственно интуитивной областью математики. Вполне естественно, поэтому именно с арифметики начать попытку формализации и строгого обоснования математики. Первое полуаксиоматическое построение этой дисциплины было предложено Дедекиндом (1901) и стало известно под названием “системы аксиом Пеано”. Эту систему можно сформулировать следующим образом:

1) 1 есть натуральное число;

2) для любого натурального числа х существует другое натуральное число, обозначаемое х¢ и называемое: (непосредственно) следующее за х;

3) 1 ¹ х¢ для любого натурального числа;

4) если х¢ = y¢, то х = y;

5) если Q есть свойство, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа, и если

I. натуральное число 1 обладает свойством Q;

II. для всякого натурального числа х из того, что х обладает свойством Q, следует, что и натуральное число х¢ обладает свойством Q, то свойством Q обладают все натуральные числа (принцип математической индукции).

Так выстроенная аксиоматика позволяет моделировать натуральные числа как потенциальную бесконечность, как возможность. В этом смысле натуральные числа могут быть рассмотрены как порядковые числа, то есть моделируются как представители: первый, второй, третий и т.д., в отличие от моделирования количественных представлений. К этому вопросу мы вернемся в последующих параграфах.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте систему аксиом Пеано (Дедекинда). Для чего она необходима?

2. В чем состоит принцип математической индукции?

3. Определите множество натуральных чисел как вполне упорядоченное кольцо.

4. Что такое порядковый тип числа?

5. Постройте модель натурального числа.

6. В чем заключается двойственная природа чисел?

Контрольные задачи:

1. Сформулируйте определение отношения a > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

2. Докажите, что если a, b, c – натуральные числа, то:

а) a < b Þ ac < bc;

в) a + c < b + c Þ a < b.

3. Опишите в общем виде процесс доказательства методом математической индукции. Из скольких этапов он состоит? Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения:

а) ; б) ; в) ;

г) (n3 + 3n)/6;   д) (4n + 15n - 1)/9; е) (62n-1 + 1)/7.